ЛПП в математике :)

Есть науч-поп книжка "Математика: утрата определенности" Мориса Клайна где очень хорошо обозначается висящая (реально) над всей математикой проблемка которую нельзя ни решить ни опровергнуть и которая исторически начинается с таких вот трюкачеств как на видео. Это прям очень долгий был и трудный путь к осознанию проблемок с бесконечностями который кончился довольно таки эпичненько.
Рекомендую почитать.

 

aa_dav, на реальных задачах гораздо сложней получить результат, тч они плохи для грантоедов.. в физике с этим делом стало даже хуже, чем в математике: та же квантовая механика попросту забивает на правила постановки экспериментов, вот и получаются сказки Шахерезады про квантовые вычисления. теперь к ним и ловцы "грав волн" прибавились

 

Тут тоже всё интересно. Взять например ряд -1, +1, -1, +1 с которого стартуют многие рассуждения про сумму ряда всех натуральных.
С точки зрения чистой математики такой ряд не имеет предела и его бесмысленно суммировать и всякое такое. Ну "прыгает" каждый следующий член ряда в новое место и сумма ряда не сходится к конкретному значению.
Но вот как раз с точки зрения скажем так физика у такой постановки вопроса есть вполне разумная вещественная аналогия - а что если эти "прыжки" вызваны погрешностями эксперимента которые в каждом первом эксперименте происходят? Просто некий допуск дельта-эпсилон с которым внешняя среда вносит возмущения в процесс измерения?
Что говорит здравый физический смысл? Что если такие ошибки на длинной серии экспериментов поскладывать и усреднить - то мы их устраним.
И это является идеей суммирования по Пуассону-Абелю https://ru.wikipedia.org/wiki/Сходимость_по_Пуассону_—_Абелю - и такое суммирование чётко говорит нам, что результат будет 1/2. Со всей математической строгостью - усреднение бесконечного ряда +1 и -1 неумолимо сходится к величине 1/2 - "выкинув ошибки" таким усреднением суммы ряда мы выходим на эту величину вполне уверенно, без оговорок и с конкретным физическим смыслом.
Говорит ли это о том, что сумма такого ряда 1/2 - это всенепреложный факт? Не совсем. Как у любого знакопеременного ряда мы можем выйти на любую сумму перестановкой членов (теорема Римана об условно сходящихся рядах), т.е. проворачивая перестановки и группировки как в сабжевом видео можно насчитать что угодно. Но вот если суммировать по Пуассону-Абелю, то будет только 1/2. Т.е. тут важно наше отношение к постановке задачи.
Поэтому то что там в квантовой механике перенормировки используют идею что сумма всех натуральных -1/12 это тоже что-то из такой же серии.

--- Сообщение объединено, 28 мар 2023 ---

P.S.
Интересно, что есть направление в математике которое пытается на корню пресечь все подобные проблемы методом радикального осмысливания что является тут проблемой в рассуждениях типа тех что на видео в сабже. И корень проблемы очень простой - алгоритмы (рассуждения) которые никогда не останавливаются. В информатике такие алгоритмы называются зависшими и по определению они не возвращают никакого результата. Это NULL, это дичь и по мнению некоторых математиков ими просто нельзя пользоваться ни в каком рассуждении вообще.
Это действительно подрывает саму основу рассуждений типа как на видео и закрывает огромную кучу таких парадоксов, но имеет слишком большую цену из-за чего не имеет никаких шансов прорваться в мейнстрим где до сих пор есть парадоксы (например парадокс Банаха-Тарского - парадокс актуальный вроде бы и по сегодняшний день).

 

вся магия математических инсинуаций начинается с простого ФАКта расчётов ориг функции чрез некие её эквиваленты и при этом очень мило либо забывают / либо забивают на такие МЕЛОЧИ..

1. ориг и экв функи как правило имеют разные диапазоны допустимых значений.
2. зачастую и тип у них тоже разный (к примеру, ориг дискретная, а экв непрерывная).
============
И о ЧУДО-ТО КАКОЕ == в сумме целых чисел получаем плавающую запятую

увы и ахЪЪЪ - любая сумма погрешностей не даёт нуля. в сугубо численных экспериментах такое в основном не лечится. А вот в физике с горем пополам можно применять принцип минимальных энергий и различие скоростей процесса с права/лева от точки равновесия (понятное дело, что дельта этих скоростей идёт к нулю с ростом точности). Но в любом случае физика упирается в барьер тепловых шумов.

мейнстрим очень любит "парадоксы", ибо дюже хорошо на них хайпонавтику поднимать, а оная служит рычагом для поднятия баблишка

 

чел ну-прям дико вольничает с

получается, что при любом фи равенство верное

 

S(-1) = -.5

S(-1) = -.75

--- Сообщение объединено, 30 мар 2023 ---

k=n

 

UbIvItS,
В уравнении 1+2+3+...=S, S - это не число. Операции сложения, вычитания, умножения и деления для него не определены, поэтому переносить его в левую часть равенства или использовать как вещественную переменную нельзя. Делая это, ты создаешь другую алгебру, она никак не пересекается с алгеброй вещественных чисел и в ней S равно -1/12 (или любому другому значению).

 

rmn, S - это бесконечный полином и вся керобора идёт чрез простой шарлатанский трюк (то бишь часть полинома приравнивается к целому.. эдакий фрактал)

 

"Наивные" попытки обращаться с бесконечными рядами в формульном виде пошли под откос уже очень давно.
Формализуясь и огораживаясь от таких проблем и парадоксов из них вытекающих математика выработала строгий механизм как с этими штуками можно непротиворечиво обращаться - и называется он теория пределов.
Сумма ряда с этих позиций это предел к которому стремятся его частичные суммы. Здесь происходит очень важное и огораживание от актуальной бесконечности - мы не пытаемся больше взять и вообразить себе операцию которая суммирует все члены ряда как данность. Нет. Мы говорим - вот просуммируем если мы N первых членов ряда, потом N+1, потом N+2 и так будет повторять много много раз - есть ли такое конечное число к которому новые результаты будут всё ближе и ближе? Бесконечность отодвигается в сторону и весь понятийный аппарат замыкается в конечных шагах - если удаётся показать, что как велико N не было бы, но конечно, хоть и сколь угодно велико, то сумма ряда лишь приближается и приближается к конкретному числу - то это число признаётся суммой ряда.
Вот это вот задвигание бесконечного числа шагов в конечные рамки, сужающиеся, но конечные рамки, очень сильно помогло и многое расставило по местам.
И на самом деле когда в теории лимитов пишут что предел стремится к бесконечности это просто сокращённая форма записи "сумма ряда бесконечно растёт с каждым новым конечным шагом, а не стремится к конечному числу". Тут не надо путать. Вся теория лимитов основана на том, что мы шажками приближаемся к желаемому пределу оценивая как изменяется результат и делая соответствующие выводы. Никаких настоящих бесконечностей там нет и это делает всё непротиворечивым.

И тут важно понимать что именно приводит к противоречиям когда мы тут берем какое то S и начинаем из него чего то выделять, переставлять и сокращать - всё дело в том, что S как объект является бесконечным набором операций. Попытка вычислить его честно просто зависнет в бесконечном цикле и истинная проблема тут не в том, что есть какие то противоречия в вычислениях, а в том что эти вычисления зависли и когда мы делаем вид, что это не так, то можем получить любой бред так сказать.

 

есть такое дело..
https://wasm.in/threads/sxodjaschiesja-rjady.33410/#post-411915
https://wasm.in/threads/beskonechnoe-rjadom-d.33169/page-2#post-407399
но есть но == теория пределов работает достаточно годно ровно до того момента, когда у нас есть экв ряд/функа с хорошей скоростью схождения. на границе адекватности мат модели да её скорости и происходит вся ПЕЧАЛЬ

 

Теория пределов не работает просто там где её нет.
Например парадокс Банаха-Тарского: https://ru.wikipedia.org/wiki/Парадокс_Банаха_—_Тарского
" теорема в теории множеств, утверждающая, что трёхмерный шар равносоставлен двум своим копиям.
Два подмножества евклидова пространства называются равносоставленными, если одно можно разбить на конечное число (не обязательно связных) попарно непересекающихся частей, передвинуть их и составить из них второе (в промежуточном положении части могут пересекаться, а в начальном и конечном не могут)."

В сущности это то же самое - берем и делим шар на несколько частей которые сами по себе описываются безумно бесконечным числом шагов и вуаля-составляем из них без масштабирований, а только поворотами и сдвигами два таких же шара. Фокус покус? Фокус покус.
S последнего поколения. И в этом поколении математический мейнстрим не говорит, что тут что-то не сходится, а говорит, что это неинтуитивное свойство неизмеримых множеств. О как.

 

на дискретных функах идея пределов, конечно, так себе клепается. Но любую дискретную функу можно выразить в непрерывной форме и с горем пополам считать пределы / корни / скорости /.. вся смехота ещё в том (что даже пытаясь решить выч задачи сугубо ЧЕСТНО) избежать НЕЧЕСТНЫХ приёмов далеко не всегда возможно.. у компов очень скромные возможности и мат модель приходится класть на эдакое прокрустово ложе.

 

неплохая статейка про ПЕЧАЛИ выч арх

 

тут стоило бы начать с того, что само определение рац чисел (мягко скажем) мутноватое..

стесняюсь спросить, а как проверить число на рациональность при мало-мальски больших a,b? 1/11 = .09090909090909091 (повторение хорошо видно), 1/17 = .05882352941176471 (а тута ужо в ахтунг дело прыгает)

 

Но... это не определение рациональных. Rational по русски означает "дробное". От слова дробь. Определение где то в этом направлении надо искать.
Если мы складываем целые, то результат всегда - целое.
Если мы вычитаем целые - результат всегда целое снова.
Если мы умножаем целые - результат всегда целое опять.
Но если мы делим целые, то иногда результат становится... не целым, а дробным.
Этот факт и зафиксирован в понятии rational.

 

и так - не так, и так-то не эдак

 

Забавно, что рациональные подложили математикам интересную свинью неоднозначности слегка опорочив понятие вещественных.
Дело тут в том, что с точки зрения вещественных [math]\frac{1}{2}[/math] и [math]\frac{2}{4}[/math] это одна и та же точка на числовой оси. На первый взгляд в этом нет особой проблемы, можно вырулить на то, что каноничной записью должна являться несократимая дробь, а все остальные многозначности это просто несколько вариантов записи одного и того же числа, но...
Попробуем в это одно и то же число возвести в степень число [math]-1[/math].
[math](-1)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{-1}[/math] превратится в корень из минус единицы - результат неопределен.
Но [math](-1)^{\frac{2}{4}}=\sqrt[4]{(-1)^2}[/math] элегантно возводит [math]-1[/math] в квадрат получая [math]+1[/math] и далее корень четвёртой степени выходит на вполне легальную [math]+1[/math] же.
Оппаньки. "Просто еще один вариант записи" на самом деле радикально влияет на результат. Возведение в [math]\frac{1}{2}[/math] и [math]\frac{2}{4}[/math] это совсем разные вещи получаются. Одна и та же точка на числовой оси внезапно оказывается полна какого то неудобного дуализма. Чтобы этот дуализм устранить математика положила запрет: нельзя возводить в степень отрицательные рациональные/вещественные.
Отсюда возникает интересный момент: целочисленное возведение в степень и вещественное возведение в степень это строго говоря две разных операции с весьма разными областями определения включая тонкий момент, что у целочисленных нет запрета на отрицательные значения возводимого аргумента.
При этом [math](-1)^n[/math] довольно часто фигурирует в формулах как инструмент чередования знаков - и это другая операция нежели [math]a^b[/math] которая может быть написана рядом для суммируемых допустим чисел.

 

aa_dav, замечательный пример да, математика полна конфузов, но всё это было вполне терпимо, пока считали сугубо реальные вещи. современная же математика нырнула в самую глубину абстракций (где можно доказывать всё, заботясь лишь о красоте формул)

ЗЫ... та же целочисленная факторизация не входит даже в сотню самых тяжёлых задач на конечных множествах, а вот бесконечности публика кикает слегонца да левой пяткой

 

aa_dav, все неоднозначности решаются в области комплексных чисел.

[math]\sqrt{ -1 } = \pm i[/math]
[math](-1)^{\frac{2}{4} } = ( \sqrt[4]{-1} )^2 = (\sqrt{\pm i } )^2 =\pm i[/math]

Своим преобразованием вы нашли только один из возможных результатов.