сумма расходящегося ряда

я пытаюсь придумать некоторые физические аналогии, чтобы понять пользу от суммирования расх. рядов

1) 1 -1 + 1 -1... = 1/2
Это можно представить как потребляемую мощность электролампочки, которую питают импульсным током, есть-нет-есть-нет, она будет гореть в пол-накала

2) 1 - 2 + 3 - 4... = 1/4
Тут уже сложнее придумать правдоподобное физическое объяснение, т.к. идет болтанка между плюс и минус бесконечностями... Лампочка просто бы перегорела. может фильтр помог бы...

Однако возьмем всем известный синус
x - x^3/3! + x^5/5!

Если взять большой аргумент, например 100pi или 1000pi, то сначала будет похожая расходящаяся болтанка, но тем не менее функция в конце концов примет значение между -1 и +1. Значит имеет смысл говорить, что сама по себе болтанка имеет скрытый предел где-то между +1 и -1.

 

Глупости.
1) Про 0.9999... С математической точки зрения чушь. Просто попытка "запудрить мозги" тем, кто не знает теории.
2) Про лампочку - у нее инерция и значит математически это выражается совсем по другому.
3) Про синус и нормальные пределы - нет никакой болтанки. Пределы оперируют поведением в бесконечности, а там болтанки нет - именно отсутствие болтанки и определяет наличие предела.

 

Ояебу! Вы привели разложение синуса в ряд Тейлора в точке x=0. И какой точности вы хотите добиться, если вы берете значение в настолько удаленной точке? (теорема Вейерштрасса об аппроксимации функций).
Никакой болтанки нет и быть не может! Дифференцируйте по x приведенное вами разложение синуса, вспоминайте физический смысл первой и второй производной (и т.д. ) и вам откроется.

 

persicum
премии вам не видать - почитайте о p-адических числах
или вот посмотрите http://www.intuit.ru/video/25/

а вообще автор сказал "в некотором смысле". И нечего тут удивляться всяким рядам необычным. Например, есть и поинтереснее случаи http://kvant.mirror1.mccme.ru/1984/05/metod_proizvodyashchih_funkcij.htm
rootrat

и

- это не термины =)

 

valterg
rootrat

Не надо путать ускорение сходимости при вычислениях и собственно факт сходимости.
Еслиб я вычислял sin в ряд, то я бы сначала взял дробную часть от деления на 2pi, то есть вычел бы 2pi насколько это возможно из аргумента.

Но сам по себе ряд Тейлора-Маклорена скодится для любого x и дает правильный результат что для 1000pi, хоть для 1000000pi. =))) А как он будет себя вести, пока n! еще мал?

Так что жуйте свои булочки дальше o:

 

У вас был записан не ряд, а просто полином. Любите точность в ответах других - подавайте пример.
Для ряда, естественно, болтанка есть, если рассматривать последовательность частичных сумм. Тем не менее, эта болтанка не мешает сходимости ряда (а вот для ряда типа 1-2+3-4+5-... - ещё как мешает)

 

Путем долгих и упорных размышлений мне, наконец, стала приоткрываться великая тайна суммы расходящегося ряда. Разумеется, я не сам до этого додумался, размышления лишь взрыхлили почву и позволили мне воспринять истину, которая будоражила умы выдающихся математиков сквозь столетия, но до сих пор не находила ясного выражения.
Раса нынешних людей очень напоминает пигмеев, которые умели считать до трех, а дальше говорили “много”. Один начитанный юнец так и сказал мне недавно – уравнение x = 1 + 2x может иметь своим корнем бесконечность. Так вот, возлюбленные чада мои, великая правда заключена в том, что между стирающей все различия бесконечностью и обычными числами существует целый пантеон божеств, имя им –Бесконечно Большие Числа (ББЧ). И хотя этот рой ББЧ бесконечно превосходит обычные наперед заданные числа, но он все же меньше самой Бесконечности. ББЧ имеют все страсти и пороки обычных чисел, им далеко не все равно, если от них отымется конечное количество или, наоборот, умножится. Поэтому вычисления в ББЧ содержательны и позволяют выполнять все четыре арифметических действия.

Истина как всегда проста – суммой расходящегося ряда может быть ББЧ. Далее от ББЧ можно перейти и к обычным числам, не теряя нить вычислений, поскольку обычные числа это слабый вариант ББЧ с лидирующими нулями. Так, 1 = …00000001.

Найдем для начала сумму 1 – 2 + 3 – 4 + 5…
Для этого решим уравнение:
x = 1 – (1 – 1 + 1 – 1…) – x
2x = 1 – 1/2
x = 1/4

Теперь найдем обычный эквивалент для ББЧ числа …333333333333334, записанного в пятиричной системе счисления:
x=4+5(x-1)
4x=1
x=1/4

Стало быть, суммой первого ряда является ББЧ, хотя их приложимость к арифметическим прогрессиям далеко не так очевидна, как к геометрическим.

(с) бреДЪ

 

Подкинем дровишек Сообразил, что даже старт был неверный. Говорилось про расходящиеся ряды, а подсунуты были ряды вообще не имеющие предела - неопределенные. Поэтому фразы про то, что бесконечность подходит в качестве решения x=1-x не к месту. С расходящимися "фокусы" не пройдут :
S=1+1+..... S=1+S 0=1

 

Ну-ну, не совестно ли вам не замечать пару слонов, что тут уже пробегали?

1+2+4+8...=-1 и
...333333334=1/4? (p=5)

На счет 1+1+1+1... согласен, затруднения справедливые. Углублятся не буду, можно в Вики почитать на английском. Этот ряд не берет большинство стандартных методов суммирования. Ну так бесконечность никто не отменял. Видимо эта дурная бесконечность вне компетенции ББЧ.

 

Вот ведь интересно, что люди пытаются считать сумму расходящегося ряда не определив что это такое. Для сходящегося ряда математики взяли и договорились, что его сумма равна пределу частичных сумм (собственно ряд и называется сходящимся, если этот предел существует). Чтобы можно было посчитать сумму расходящегося ряда, ей надо сначала дать определение! Так вот математики пошуршали мозгами и предложили несколько вариантов (см. ссылку выше), причём таких, что свойства суммы расходящегося ряда напоминают свойства сходящегося. И, вобще говоря, оказалось, что суммы расходящихся рядов можно использовать с некоторым успехом в математическом анализе. Кароче это такая математическая абстракция. За подробностями обращайтесь к гуглу - Г. Харди "Расходящиеся ряды".

 

_Nickel

Казалось бы, самое правильное решение – сначала определить, что такое сумма расх. ряда, а потом ее использовать. Однако на это есть пара возражений.

1) Это вполне соответствует современной тенденции изгнания философии из науки, когда остаются только одни формулы и полностью теряется всякий смысл.
2) Математики якобы абсолютно свободны в своих фантазиях и вправе сочинять все, что им заблагорассудится.

Что касается обычных пределов, то они с успехом использовались еще геометрами древности вроде Архимеда и Евклида, а также в эпоху Возрождения Кеплером для подсчета объемов винных бочек и т.д., задолго до Коши-Лейбница, которые дали формальное определение предела.

Расходящиеся ряды тоже с успехом использовались Эйлером при выводе некоторых формул. Потом математики ужаснулись этому и до поры до времени забыли о содержательной природе расх. рядов под впечатлением обычных пределов, считая такие ряды "расходящимися". Изгнали из математики и еще долго потешались над собой.

Так что давая определение сумме расх. ряда, математики не вполне свободны в определениях, а должны дать такое, чтобы от него было максимально пользы и максимум разумных приложений, а для этого они должны были уже достаточно поэкспериментировать с расходящимися рядами.

Но само по себе определение еще не способно обнаружить смысл. Определение комплексного числа, например, было дано с самых первых попыток решения квадратных или кубических уравнений, а всеобщее признание и применение в физике и в математике пришло через много столетий именно когда стал проясняться смысл комплексных чисел.

Одно важное следствие я уже дал, это существование Бесконечно Больших Чисел, содержательных и отличных от привычной бесконечности. Не уверен, что это есть в книге Харди.

Что будет, если ……88888888888888888888888889 умножить на 9 ? o:

 

Знаешь как экспериментирует математик? Изобретает определение, и экспериментирует. Если определение оказывается убогим, он придумывает другое, которое лучше соответствует задаче.

Я б не сказал, что потешались. Эйлер на то и был Эйлером, чтобы с успехом использовать то, что другие понять не могли без достаточной формальной базы. У него времени не было, на то, чтобы ради парочки доказательств развивать теорию рядов в т.ч. и рядов расходящихся, до нужного уровня. Ему было достаточно того, что он сам точно понимал, что такое ряд. Все прочие же, критично оценивая свои умственные способности, не рисковали использовать расходящиеся ряды, до тех пор, пока под них не была подведена формальная база.
Можно ещё вспомнить про флюксии с дифференциалами, которые верой и правдой служили Ньютону и Лейбницу, но потом у других начали давать сбои. И сбоили до тех пор, пока не пришёл Коши и не подвёл формальную базу под дифференциальное и интегральное исчисления.
Рассказать про теорию вероятностей, в ту пору, когда она не имела достаточно чётких определений понятия вероятности? Её ж вообще за псевдонауку сочли в какой-то момент, поскольку на её базе доказывали вещи, которые вообще-то неверны.
Да, в чём-то ты прав: гении использовали свои изобретения не имея достаточно чёткого определения. Они, по сути, исследовали применения понятия, чтобы дать потомкам возможность его формализовать. Да, любой имеет право проворачивать подобное. Но если ты начинаешь рассказывать что-то мне, то уже нехорошо с твоей стороны делать это даже не попытавшись дать мне определение того, с чем ты работаешь, и не очертив хотя бы общие правила работы с этим. Без определения вообще, можно очень долго философствовать и выглядеть очень умным. Но толку от этого ноль. Собственно, определения которые изменяются по необходимости, и правила которые дополняются по требованию в процессе исследования -- это явный признак псевдонауки, то есть области человеческой деятельности, которая позволяет доказать любое наперёд заданное утверждение.

Почему же? Это если математик претендует на определение, которое будет широко принято всеми всегда и на века. На определение, которое будет носить его имя и с трепетом в голосе рассказываться профессорами первокурам. Тогда да, тогда математику надо поднапрячься. А если он просто исследует вопрос, какое же из определений будет лучше, он волен взять любое, и показать насколько оно полезно обществу, доказав парочку утверждений. Потом взять другое определение, и доказать ещё три утверждения. Всё в его руках.

Не смысл, а полезные приложения этих комплексных чисел. Когда Кардано нашёл корни кубического уравнения -- это было первое приложение. А когда Эйлер начал доказывать определённые факты о сходимости рядов залезая в комплексную плоскость, то отпали последние сомнения. Смысла же в комплексных числах ровно столько сколько и в рядах, то есть ровно ноль. Они не несут никакого смысла, они не несут никаких тайных знаний, в них не зашифрован секрет философского камня.
Харди ведь, говорил о том, что бог дал человеку натуральные числа, а всё остальное это человеческие выдумки? Или кто? Мы можем видеть натуральные числа, как мощности множеств предметов нас окружающих, всегда, в любой момент. А все остальные -- это костыли, которые помогают убогому мозгу человека решать более сложные задачи чем 2+2=?.

 

persicum

Неужели Вы не согласны с этим подходом?

Не смысл, а один из смыслов. Прелесть математики в том, что она оперирует абстрактными объектами, которые можно по-всякому спроецировать на физический мир. А можно и вобще не спроецировать.

Ввели новый математический объект? Будьте добры предоставить аксиоматику. Множество чисел говорите? Они складываются и умножаются? Это кольцо?

Похоже речь идёт о 10-адических числах. Ответ: 1.

 

Смысл математического объекта в моем понимании, это его роль и место в математике и в естествознании, взаимосвязь с другими объектами, важность для практики, а также геометрическое истолкование. В нумерологию и связь планет с платоновыми телами, я естественно не верю, слишком испорчен цивилизацией, но тайный смысл порой явно проглядывается. Например определитель матрицы это объем многомерного симплекса. Вот, воображаемая геометрия Лобачевского нашла свой смысл в теории относительности... А можно было бы просто сказать - игра ума и извращение с постулатами.

Или комплексные числа и физические величины... может ли быть физическая величина комплексной? Некоторые делают отсюда вывод, что частицы, описываемые волновой функцией, могут двигаться назад во времени (Крамер, Рязанов)...

Много читал о приложениях асимптотических рядов (сначала сходятся, но в пределе расходятся), а также сразу вульгарно расходящихся рядов в физике, но вот как раз ввиду слабоумия совершенно никак не могу понять смысл расходящегося ряда для конкретной конечной физической величины, через него выражаемой... Как такое может быть? Тут как не определяй и не абстрагируйся, но от взрыва-расходимости-разрушения никуда не деться =(((

 

r90

Это сказал Леопольд Кронекер. Интересно, что оригинальное высказывание

Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk.

дословно переводится как "... целые числа...". Но что в то время понималось под целыми числами, я точно не знаю, возможно имелись в виду и натуральные.

 

Stiver
Буду знать.
Целые числа уже куда как более крутая абстракция. Ноль... Минус пять. Мы не можем узреть множество мощностью минус пять. Так что если Кронекер имел в виду именно целые числа, то тут он ошибся.
Собственно высказывание это я слышал от препода по матану, дословно не помню -- давно это было, -- но помню я именно натуральные числа. А в препода я верю -- я два года слушал как он читает лекции по матану. =)

 

Зато можно представить прямую, отметить на ней точку ноль и в разные стороны отложить равные отрезки, обозначающие положительные и отрицательнрые числа.
Проблем с представлением таких чисел не вижу.

 

Шустро это ты рассуждаешь в XXI веке... А так, отрицательные числа не использовали даже Паскаль с Декартом, первый считал, что нельзя вычисть из нуля нечто, ибо там уже и так пусто. А второй, что нельзя умножить минус на минус, ибо как же это можно множить долги и остаться в результате в выигрыше?

Так что тысячелетия математики выписывали одно уравнение по двадцать раз, так как переносить с изменением знака не умели, а рассматривали только положительные коэффициенты

 

ух ты мля, сегодня прочитал о таком софизме:

SQRT(-3)<>i*SQRT(3), т.к. SQRT(-3)*SQRT(-3)=SQRT(-3*-3)=SQRT(9)=3

 

persicum

Я ошибаюсь в чем-то? Не понял, что ты хотел сказать.