сумма расходящегося ряда

Можно несложно показать, что в некотором смысле

1 - 1 + 1 - 1... = 1/2

или например,

1 - 2 + 3 - 4... = 1/4

вот вопрос, что заставляет математиков или физиков суммировать такие ряды, какой в этом смысл, почему нельзя просто забить, типа нет предела и все тут, какие интересные задачи можно решить таким способом?

 

Это скорее упражнения.
А вообще - посмотри ряды Тейлора . И разложение матфункций в эти ряды.
Например, нет у тебя математического сопроцессора (FPU). Те же синусы и косинусы можно посчитать, воспользовавшись рядами Тейлора.

 

persicum
не совсем понятен вопрос?почему они суммируют эти ряды?да потому что они математики ,да и вообще бесполезных исследоаний небывает,все когда нибудь пригодится...

 

persicum

Нельзя. Вернее можно, но это будет не математика, а ловкость рук Аналогично "доказательству" 4=5 для школьников младших классов.

Правильный ответ: ничто не заставляет (см. выше) и никаких интересных задач нельзя решить.

Любопытно другое: в историческом плане сходимость рядов - достаточно молодое понятие и до определенного момента многие (если не большинство) математики работали с рядами, не задумываясь о существовании пределов. Насколько я помню, в численных методах до сих пор бывают случаи, когда имеет смысл вычислять частичную сумму расходящегося ряда. Поройтесь в литературе, вопрос наверняка где-то освещен (вот например статья в "Математических анналах" http://www.springerlink.com/content/n71843418j651270/ "О применении расходящихся рядов в период 1750-1860")

 

persicum
Лучше взять расходящейся ряд:
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n + ...
Он гораздо более интересен, чем приведенные Вами примерчики.

 

persicum

Покажи.

 

От первого моего ряда проц наглухо зависнет, а от второго получит переполнение. И никаких пределов найдено не будет =)))

Ну да, зачем суммировать и получать бессмысленные числа, и как это может пригодиться?

Это вроде ln x - C, ну вопщем похож на обычный натуральный логарифм

lim (-1)^n = lim (-x)^n = 1/(1+x) - геометрич прогрессия, подставляем 1 и получаем 1/2

Второй ряд аналогично...

 

Вот в этом то я очень не уверен, вернее уверен в обратном, что применение найти можно, но только не знаю какое =(((

 

_DEN_
Для таких рядов можно любой предел показать. Нужно только выбрать, как сгруппировать слагаемые:
1-1+1-1+... = (0,5+0,5)-0,5-0,5+(0,5+0,5)-0,5-0,5+... = 0,5+(0,5-0,5)(-0,5+0,5)+(0,5-0,5)(-0,5+...
0,5 за скобками. В скобках всегда нули. Значит сходится к 0,5.

 

persicum

"Показательство" неверное. Во-первых, некорректное, т.к. сумма и произведение - это какбэ не одно и то же. А во-вторых, ошибочное, т.к. x = -1. Формула суммы геометрической прогрессии здесь неприменима.

 

persicum
Гоню. Много дел сразу - никогда не на пользу.

 

У меня как раз верное, поскольку сумма геометрической знакопеременной прогрессии равна 1/(1+x), подставляешь x=1 и получаешь 1/2

А вот это показуйство неверное, поскольку
(1-1)+(1-1)...=0, а
1-(1-1)-(1-1)...=1.
Можно переставить скобки как угодно и получить что угодно.

 

Доказательство для первого ряда через формулу суммы геометрической прогрессии не катит. Если b[n]=b[n-1]*q, то q по модулю должно быть _меньше_ единицы (это 6 класс средней школы).
Сумма таких рядов (из вашего примера) смысла не несет. А вот если при заданном количестве шагов суммирования вы получаете значение, отличающееся от вычисленного теоретически на величину заданной погрешности, это уже становится полезным.

 

persicum

Вы внимательно читаете. Ещё раз: " Для таких рядов можно любой предел показать".

 

l_inc
Блин... Ну чтоза... Короче, первое предложение — вопросительное.

 

persicum
Ужос... Теперь сам к себе обращаюсь... Ну Вы поняли... что это к Вам.

 

Я бы охотно поверил, но на эту тему много чего написано, что невольно задумаешься. Какая то прямо мистическая тайна...

Или вот:

1-1+1-1...=1-(1-1+1-1...)
x=1-x
x=1/2 - с глубоким прескорбием =(((

 

Ну а я обращаюсь к Вам! Нефига скобки расставлять, так и 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4... можно к чему хочешь приравнять (поскольку ряд из модулей расходится)

 

persicum

Вообще-то с единицами - тоже расходится. Поэтому в третий раз: "Для таких рядов можно любой предел показать". Не помню, как по-русски... у нас это называлось "alternierende Reihe". Если последовательность модулей членов последовательности - расходящаяся, то для такого ряда можно показать любой предел. Ряд считается расходящимся.
И с чего это нельзя скобки расставлять? Это противоречит чему-то?

 

persicum
Короче... молчу дальше. Потому как ошибка на ошибке у меня. Для (-1)^n*(1/n) нельзя показать любой предел. Насчёт единиц - можно любой предел показать. Ряд расходящийся. В остальном больше не лезу.