"a стремится к b" и возникающее противоречие

Pavia, определение чего? Предела? Предел это не стремление. Предел он существует ПРИ стремлении чего-то к чему-то

 

Ага а еще банаховы пространства

 

l_inc
Очень просто из придела.
Стремление f(x)->A есть lim(f(x))=A ,где x принадлежит проколотой окресности A.
Тогда возмем f(x)=x, те y=x. Отсюда x->a есть Lim(x)=A или для любого eps>0 найдется такое x0 принадлежащее x такое что |xo-A|<eps

 

SashaTalakin
Для тех, кому непонятно определение в кванторах, я двумя строками выше дал словестное определение, которое по сути ничем не отличается от того, что написал _DEN_ в первом посте. И разумеется, что определение в кванторах лучше всего годится, как формальное определение.

Нет никакого частного случая и никакого "примерно". Тут как раз именно точно.

Может в русском языке стремление - это и процесс, а в математике слово стремление используется для описания понятия предела. Потому я и предлагаю отказаться от русских слов и использовать символическую запись a -> b или x -> a.

Это всего лишь попытка объяснить своему сознанию формальное определение. Опираться на это высказывание в процессе создания выводов ни в коем случае нельзя. По сути никакого "процесса уменьшения" нет. Ничто не мешает Вам "увеличивать" окрестность.

 

Ышо раз. я в математике не Копенгаген конечно далеко но ваше "определение" в кванторах вопервых неизвестно чего во-вторых чего бы оно ни было оно не выдерживает никакой критики по-моему это совершенно очевидно.

А нет его этого формального определения! Есть определение предела, есть определение предельной точки, которое участвует в определении предела и есть "УГО" предела

А стремлением называется нижняя строчка этого "УГО", нет для нее определения формального. Есть только объяснение того что это значит - стягивание окружности к предельной точке в процессе поиска "дельта такого что ...". Те мы выбираем эпсилон сколь угодно малое (ну оочень малое), поэтому вынуждены выбрать нуу ооочень малое дельта, его поиск и называется стремлением. Стремлением найти достаточно малое дельта

 

Pavia

Опять неверно. Во-первых, для x и для f(x) выбираются различные точки и различные их окрестности. Обычно x->a => f(x) -> A. Во-вторых под lim необходимо писать, к чему стремится x.

Это просто ужас. Вы специально изменили регистр символа "а"? И само слово lim без подписи снизу (в данном случае, разумеется не обязательно писать именно снизу ) о том, к чему стремится аргумент, не имеет смысла. Поэтому никакого "есть" между данными Вами записями быть не может.

И наконец мы говорим не о пределе и его определении. Мы говорим о подписи снизу к слову lim. Эта подпись является частью определения предела. Возьмите да найдите где-нибудь формальное определение предела в eps-delta-терминологии. Та же вики подойдёт. Выдерите от туда ту часть, где определяется x. Тогда Вы и получите определение x->a.

 

SashaTalakin

Не знаю, что Вам там очевидно. Определение чего, написано в самом определении. Вам значок "равносильно" известен? Вот найдите его в определении. Справа относительно этого значка находится запись x -> a. Теперь ясно, определение "чего" дано?

Вот это единственное, с чем я мог бы согласиться. Тем не менее я утверждаю, что дал в посте 10 формальное определение именно записи x -> a, как части записи
lim f(x) = A
x -> a
Собственно, желания продолжать спор, у меня нет. _DEN_ абсолютно верно понял запись x -> a. От чего он пришёл к противоречию, я объяснил в посте 16. Лично мне теперь интересно, понял ли он это объяснение.

 

Не нужно писать. Смотри определение придела там не говорится что x стремится xo. Там |x-x0|<d где d>0. И именно это обозначает стрелка. А после я даказываю что это соответствует стремлению x к x0. Определяет стремление как x->x0.

И опять таки не верно где это сказнанно что d<>eps? Негде поэтому и возьмем их равным в доказательстве.

 

Да у меня тоже нет. Упертый вы слишком. Напишу последний пост где поясню вам собственно почему ваше " формально определение" в кванторах не только не формальное но и стыдно на коллоквиуме в первом семестре показывать будет (заранее отвечу на вопрос о том почему бы мне самому не попробовать написать верное формальное определение - потому что я сомневаюсь в том что смогу правильно его написать поэтому и не пишу):

Читается "как для любого эпсилон больше нуля следует 0 < |x-a| < eps". Ок я беру x и a принадлежат R х = 1 а = 3, эпсилон 50 не выполняется ваше неравенство. Другими словами из того что эпсилон больше нуля следует лишь то что оно больше нуля и ничего другого, и то это с условием того что вы объясните множеству каких значений принадлежит эпсилон, без этого даже даже такого следствия не выцедить.

Кратко: что есть х что есть а, что есть esp на каких множ-вах они определены

Договорю частично за вас то что вы не написали к первой цитате: х принадлежит множеству Х (подмножество вещественных чисел для упрощения), а - предельная точка этого множества Х. Для любого эпсилон больше нуля принадлежащего множеству R можно выбрать х из Х такое что "0 < |x-a| < eps". И это вы отождествили с "x -> a", но это неверно потому что предельных точек ai может быть сколько угодно для всех будут х из Х такие что "0 < |x-ai| < eps" значит это никакое не стремление. Стремление это когда вы к одной предельной точке приближаетесь так близко как вас попросят

 

Pavia

Вы не имеете права убирать надпись из под слова lim. Без этой надписи оно не имеет смысла. Ладно... я сам скажу, что Вы хотите сказать:
lim (x) = a <=> x->a
x-> a
Увидели, что получается? Именно. Порочный круг. Определение через самого себя не есть определение (об индуктивных определениях типа определения натуральных чисел речь не идёт). Убирая надпись из под lim, Вы пытаетесь сделать видимость, что порочного круга нет. Но тогда lim теряет смысл.

 

SashaTalakin

Ржунимагу. И где ж оно не выполняется? |1-3|=2 > 0 не выполняется? Или |1-3|=2 < 50 не выполняется? Постыдились бы такую ерунду писать.

Если Вы в записи ( (для любого eps>0) => (0 < |x-a| < eps) ) не видите ничего кроме 0 < eps, то это Ваша личная проблема.

x и a - это значки из записи x -> a (не забыли ещё, чему определение давалось?). eps - любое. На каких множествах они определены, абсолютно не важно (точнее важно с того момента, когда Вы сами их определите). Определение действительно для любых множеств, на которых определены участвующие в них операции и ограничивать его только действительными числами глупо. Можете хоть множество стульев, хоть множество полиномов взять, если определите на них транзитивное, антисимметричное, линейное отношение ">", а также операции "-" и "| |".

Ерунда полная. Не "можно выбрать", а x УЖЕ удовлетворяет этому неравенству, и никем оно не выбирается. Выбирать Вы можете только то, что находится рядом со словами "для любого". То есть eps. Вот если выберете такое eps, что x и a не будут удовлетворять вышеобозначенному неравенству, значит надпись х -> a для x и a недействительна.

 

Стыдиться здесь нечего это описка в отличии от вашего "определения" на котором вы настаиваете.

Никто не спорит с этим я же написал что для упрощения. К тому же "0" значок это значок числа целого/вещественного/еще какого-то, для нечисел значок немного другой.

Проблема у того кто пишет такие записи и за ухом не почешет.

Это у вас ерунда. х выбирается (ищется обычно говорят но смысл один) из монжества Х так чтобы оно попало в выбранную eps. А вот если его нет такого х, то а это не предельная точка вот и всё.

*вяло* Ладно закончили.

 

SashaTalakin

Слегка подправил предыдущий пост по отношению к этой цитате. Теперь я наконец понял, что Вам непонятно. Но Вы бы побольше определений в кванторах почитали, привыкли бы. Определение абсолютно верное. Из самой по себе надписи, для любого eps>0, разумеется, ничего не следует. Но если всё таки следует (!) то, что там написано, то это равносильно записи x -> a.
Теперь Вам понятно?
P.S. Это вопрос на да/нет, дабы не продолжать дискуссию.

 

Мне кажется, что понятие "a стремится к b" нельзя объяснять через пределы потому что "стремление" это более первичное понятие.

l_inc

Интересно рассказываете. Попробую разобраться:

Исходя из ваших рассуждений можно сделать следующие выводы:

1. a - это не стационарное состояние, иначе можно было бы выбрать eps на основе a
2. Получается, что a есть функция от eps. Например, можно сказать, что a -> b означает, как один из возможных вариантов например, что a(eps) = b + eps / 2.

 

kero
Хорошо... ещё одна словесная формулировка:

Запись x->a равносильна...
(x -> a) <=>

...высказыванию:
для любого положительного eps верно, что...
eps > 0 =>

... расстояние от x до числа a, к которому он стремится, строго меньше eps...
|x-a| < eps

... и число x никогда не равно a.
0 < |x-a|

Т.е. если исключительно из положительности eps следует удовлетворение двум неравенствам, то можно сказать, что x стремится к a. Вспомним таблицу истинности для операции => :

ложь ложь | правда
ложь правда | правда
правда ложь | ложь
правда правда | правда

Из таблицы видно, что следствие нарушается только в том случае, если существует такое положительное eps (левая часть - правда), для которого не выполняются неравенства (правая часть - ложь). Но как раз именно в этом случае мы и не можем написать (x -> a), не так ли? Отсюда и равносильность утверждений
(eps>0) => (0 < |x-a| < eps)
и
"x стремится к a".

Я достиг Вашего согласия?

 

_DEN_

Верно. Понятие предела функции в точке вводится с использованием понятия стремления. Если x -> a, и при этом f(x) -> A, то A есть предел функции f(x) в точке a.

Выбрать eps на основе a Вы не можете не потому что a - это "нестационарное состояние", а потому что a вводится уже на основе eps.

Тоже не совсем верно. Определение - это ведь не функция? Это просто определение.

Попробую привести наглядный пример. Возьмём, например, определение целой части (для удобства положительного вещественного) числа. [x] - это максимальное целое число, не превышающее x. Т.е. [x] вводится на основе x. Что Вы делаете? Вы говорите: "выберем число [x] равное x+5. Давайте теперь посчитаем, чему равен х". И здесь Вы получаете противоречие, т.к. x+5>x, а по определению x+5 = [x] <= x.

 

_DEN_, а возьмите определение предела последовательности из поста Pavia (там вроде все понятно) и возьмите определение предела по Гейне (которое вводится через пределы последовательностей, там вместо аргумента х в функцию подставляется последовательность от 1 до oo, стремящаяся к a так как это было в постах Pavia), а ко всем остальным определениям оно сведется теоремами равносильности определений. Именно из определение по Гейне наглядно видно что рассматривается процесс уменьшения эпсилон окрестности до произвольно малого расстояния в зависимости от номера последовательности аргумента

Да там действительно "если" читается для определений в кванторах это у меня уже успешно выветрелось. Но "определение" ваше от этого правильнее не становится.

 

Очень правильное определение, в котором ключевые слова - "для любой".
Вы просто не сможете выбрать такое eps, чтобы оно было равно abs(a-b)/2, т.к. оно не является "любым". Всегда можно выбрать еще более маленькое eps. Вот и всё "противоречие".