Хватит уже ныть по поводу университетского образования. Давайте тогда чтоли дружно заноем по поводу того, что С++ ни в одном вузе страны не преподается на должном уровне.
Да похоже ConstZ на свое образование сетует, причем не только на университетское, но и на школьное Говоришь (-1)^(2/3) всегда комплексное ? А элементарные школьные преобразования показывают, что вещественное: (-1)^(2/3)=((-1)^2)^(1/3)=1^(1/3)=1 - гы-гы А "системная" формула х=e(i*pi*(1+2k)*2/3) позволяет не выдергивать одно понравившееся значение, а получить все 3 штуки - в том числе и матлабовский первый корень, и школьную единицу
Весьма самокритично (оба высказывания). Самокритика - полезный навык. (-1)^(2/3) имеет три значения, среди которых есть банальное вещественное значение 1 и есть два чисто комплексных. Аналогично и (-1)^(-5/7) имеет семь значений, среди которых есть вещественное -1 и шесть чисто комплексных. Вроде даже тут неоднократно это утверждалось.
Уважаемый diamond! Вы же сами писАли (посты #48,49), что правило (a^b)^c = a^(b*c) не выполняется при отрицательном "a", при этом формула a^b = exp(b*ln(a)) работает в общем случае. Как же нам здесь: exp((2/3)*ln(-1)) = exp{(2/3)*ln(exp(i*pi))} получить единицу, озвученную в качестве решения ранее? Даже если учтём "многозначность", и что ln(-1)=i*pi+i*2*pi*k - всё равно не получим. Огласите, пожалуйста, все три решения, да и закроем вопрос.
ConstZ Одно из значений логарифма ln(-1) есть 3*i*pi (получается из общей формулы i*pi+i*2*pi*k при k=1). Подставляя это значение, получаем exp((2/3)*3*i*pi) = exp(2*i*pi) = 1. Два оставшихся значения получаются при выборе значений логарифма i*pi и 5*i*pi (прочие значения новых вариантов для степени не дают).
ConstZ Отчасти ты прав, т.к. в универах хорошо натаскивают на типовые задачи, в частности на решение задачек типа "найти все корни из комплексного числа" (поэтому удивляет, что кто-то не слышал о многозначности и даже пытается ее оспаривать . Однако общий случай произвольной вещественной степени либо вовсе не рассматривается, либо ему не уделяется достаточного внимания и соотв-но он не откладывется в ветренной студенческой голове Отсюда и первая наивная реакция на твой пост #37 в соавторстве с матлабом Но в итоге совместных усилий можно резюмировать, что в общем случае при возведении комплексного числа в любую вещ.степень s нужно учитывать "витки" или "поворачивающую добавку" к аргументу = (2*pi*k*s) по модулю (2*pi). При целых s эта добавка = 0 при любых k и соответсвенно имеется только одно однозначное решение. При рациональных s=m/n имеем не более n различных решений (т.к. при других k решения начинают повторяться по модулю 2*pi). А при иррациональных s любые целые k дают строго говоря различные решения и о каких то совпадениях или наличии вещественных корней можно говорить лишь приближенно
leo: Почему-то тут так часто про численные приближения вспоминают? В матанализе нет такого понятия. Есть определения и теоремы примерно такого вида: Здесь eps -- заданная точность приближения результата (корня) к вещественному; d -- заданная точность приближения иррационального числа рациональным; Im(z) -- мнимая часть числа. Как возводить на комплексной плоскости в рациональную степень, мы знаем.
chAlx Так в том то и дело что в рациональную - а топик про иррациональную, потому и приходится говорить о том, что от "невычисляемой" иррациональной переходим к приблизительной рациональной и собственно имхо говорить о иррациональных числах можно либо в общем виде (формул, условных обозначений но не доходя до числа) либо скатываясь к их приближённым рациональным "аналогам"
(-1)^pi = (e^(i*pi))^pi = e ^ (i*pi^2) = cos(pi^2 + 2*pi*k) + i * sin(pi^2 + 2*pi*k), где k-целое число. Представление e^i*phi - Эйлерово, введено для удобства, как раз, возведения комплексных чисел в степень. Ответ - бесконечное множество точек, сходящихся в одну с координатами {re, im} при отображении на Декартову систему координат.
2 diamond & All Я был неправ! Приношу свои извинения, если кого обидел. Почему-то врезалось в память, что все корни после "поворотов" попадают на "те-же" места комплексной плоскости.
Так я про неё и написал, как можно определить такое действие. Его же нельзя никак не определять, а просто "возводить как обычно": в математике без соответствующих определений и аксиом ничего не существует. Не надо никуда скатываться, это обычная практика: бесконечность в любом виде (бесконечно много, бесконечно точно, бесконечно близко и т.п.) определяется через вполне осязаемые (и определённые ранее) вещи, в частности, через соблюдение каких-то конечных условий при любых заданных параметрах. Т.е. бесконечность "более высокого уровня" определяется через свои примитивные (но также скрытно бесконечные отображения: "любой", "всегда" и т.п. Именно так определены предел, интеграл и куча других математических объектов повседневного спроса. Почему бы не определить так возведение в иррациональную степень? Addon: Пожалуй, раз это претензия на определение, стоит сформулировать его в более общем виде, без привязки к вещественному корню:
Фихтенгольц, излагая теорию вещественных чисел по Дедекинду, вводит операцию возведения в ирациональную степень через понятия приближений по избытку и недостатку и сечение. Так что не повторив теорию вещественных чисел и теорию пределов я бы побоялся определять вещественную степень через предел, может получится порочный круг. А может и не получится ))). То что возводя отрицательное число в иррациональную степень стоит ожидать что результат может быть комплексным вполне логично - ведь даже при возведении отрицательных чисел в рациональную степень (например 1/2) мы имеем комплексные результаты.
Можно и так определять, только при написании любого предела нужно доказывать, что этот предел вообще существует, а в данном случае при таком подходе это... мнэ... несколько нетривиально (IMHO). Кстати, всё-таки здесь a обязано быть положительным - иначе вещественных значений может и не быть, а комплексных слишком много. Added: хотя нет, не так уж и сложно. В общем, нормальное определение для положительных вещественных оснований, только не обобщается на комплексный случай.
Здраво рассудив (утро!) понял, что нельзя Потому как предел определяется для функции/последовательности, а нам надо приблизить уравнение, да ещё и с заведомо бесконечным числом решений (в большинстве случаев). Переформулирую: Но, в соответствии с подозрениями CrazyFun, классическое определение предела тут не подходит: хоть s и предельная точка для I, но предел определяется как число из R, т.е. не обязан быть рациональным. Да и единственность такого предела будет под сомнением.. Развернуть определение предела для данных функций и множеств пока не получилось: для любого eps > 0, конечно, можно найти s' ~= s, но всё же оно будет отличаться и для eps/2 может получится другое значение s'. А множество значений s', сходящееся куда-то к s -- это уже последовательность, причём состоящая из неточных (aka неверных) значений.. "Здесь" (в том кривом "определении") -- вероятно, да. Но, в соответствии с темой топика, нам такое a неинтересно
z комплексное, a и eps вещественные, s вещественное (в данном случае иррациональное). Т.е. с любой заданной точностью можно "округлить" показатель степени до рациональной и получить тот же корень.
собственно я вроде как посчитал (-1)^пи = cos([pi^2]*[2k+1])+i*sin([pi^2]*[2k+1]) в том что мнимая часть хоть при одном k равна 0 я очень сомневаюсь. решая уравнение sin([pi^2]*[2k+1])=0 получил k=(t-pi)/(2pi), t принадлежит Z.
