ConstZ Это и есть то самое первое значение из 7ми, так же как калькулятор всегда выдаёт что квадратный корень из 4 равен 2, "забывая" что он ещё и равен -2 ) leo Спасибо - проснил откуда берётся делитель угла равный степени, а то я его эмпирчески постигал ))
ConstZ Вот-вот, у меня тоже эта мысль крутилась, т.к. степень Pi > 1 и условие на fi будет просто fi = Pi^2 по модулю 2*Pi => 3.586... Но к сожалению мы все увлеклись многозначностью и классами эквивалентности
Y_Mur Угу, а если я сменю систему исчисления с десятичной на \Pi-нарную? И 2 вдруг станет иррациональным числом, а \Pi вполне можно будет записать в явном виде? То количество решений тут же резко сократится, надо думать.. ) А вообще веселая тема. Никогда не подозревал, что с образованием на просторах СНГ уже _так_ худо стало.
Stiver Ну про образование это ты совсем зря... Экий ты шустрый: ))) И сразу утратишь связь математической абстрации с реальностью Всё таки понятие целых чисел не с потолка взялось... А иррациональные числа пришлось вводить как "специальный случай", для тех задач решение которые в целых числах непредставимо
Ведь и правда. А мне показалось что задача была взять корень иррациональной степени. А как тут быть? Тут верно, что получится бесконечно множ-во?
ConstZ Короче, топикстартер всех запутал своим неоднозначным вопросом. Смотрим, как называется тема - вроде бы все ясно, вопрос конкретно про (-1)^Pi. Но первый же топик ТС ставит вопрос гораздо шире. Кстати, чуть позже он опять поставил частный вопрос про (-1)^1/7. Так на какой вопрос мы здесь отвечаем?
Насчёт определения понятия функции: http://mathworld.wolfram.com/Function.html Перевод: Это верно, если возводится положительное действительное число в действительную степень. Если речь идёт о комплексных числах, то получается многозначная функция. Неверно. Комплексное число - это нормальное число, которое можно записывать разными способами в экспоненциальной форме. И при возведении в степень возводится не класс, а именно одно число, но получается много результатов. Хотя это и не относится к теме дискуссии, но не могу не отметить, что иррациональные числа определяются вовсе не как предел последовательности. Вспомните определение предела - если \lim x_n = a, то числа x_n и a уже определены, и над ними можно выполнять операции. Теперь насчёт определения степени как таковой. Возведение в целую степень вопросов и разногласий не вызывает. На множестве вещественных положительных чисел творится следующее. Если k натуральное и x - вещественное положительное число, то x^(1/k) - такое положительное действительное число, что (x^(1/k))^k = x - можно доказать, что такое число всегда существует и единственно. После этого очевидным образом вводится рациональная степень, которую потом можно доопределить до a^b при произвольном положительном вещественном a и произвольном вещественном b, причём это выражение задаёт непрерывную функцию по обоим аргументам, для которой справедливы стандартные свойства степени типа (a^b)^c = a^(b*c). Но если вместо положительных чисел в качестве основания степени x берётся произвольное комплексное число, появляются проблемы. Уравнение y^k = x имеет ровно k решений над C, при ненулевом x они все различны и в значительной степени равноправны. При этом нельзя (при k>1) на всей комплексной плоскости построить одну функцию y(x) так, чтобы всегда y(x)^k=x и y(x) была бы непрерывной. Это можно сделать, причём k разными способами, если сделать разрез (например, произвольный луч, выходящий из 0), но тогда получается неясной судьба точек разреза. Для того, чтобы и с ними было всё хорошо, и вводятся сложные римановы поверхности. При этом также возникают проблемы, что свойство (a^b)^c = a^(b*c) уже не выполнено - нельзя согласовать выбор значений на всей комплексной плоскости. Но его можно спасти, если под a^b понимать множество.
Теперь насчёт иррациональных степеней. Над множеством положительных действительных чисел они определяются из рациональных степеней по непрерывности. Но над множеством комплексных чисел такой приём уже не проходит. Чтобы всё-таки определить такие степени, нужно заметить, что всегда (при ненулевом a) a^b = exp(b*ln(a)) и определить таким образом степень в общем случае. Но логарифм на всей комплексной плоскости (без нуля) нельзя определить как (однозначную) непрерывную функцию, а можно только как многозначную - бесконечнозначную. Соответственно, и a^b априори будет иметь бесконечно много значений. Но если b рациональное, то всё не так плохо: среди них оказывается только конечное число различных. А вот если b иррациональное, то все значения различны. Формула (exp(i*pi))^pi = exp(i*pi^2) неверна, ибо, вообще говоря, формула (a^b)^c = a^(b*c) неверна, если под a^b понимать какое-то одно значение - в данном конкретном случае exp(i*pi) = exp(i*(-pi)), но exp(i*pi^2) \ne exp(-i*pi^2), но оба значения exp(i*pi^2),exp(-i*pi^2) имеют равное право на жизнь, как и бесконечно много других значений.
diamond Вопрос определения. Точно так же, как 2 из Z_{10} можно обозвать "нормальным числом", а можно классом 2 по модулю 10. В данном случае это наиболее наглядный способ понять, откуда вдруг появляются "много результатов". Как раз чтобы не иметь дело с бесконечным количеством значений, их и собирают в классы.
Епрст, пришлось лезть в "Теорию аналитических функций" Маркушевича и вспоминать, что такое точка разветвления.
Вообще-то "нормальное число" 2 - это число из Z, а класс 2 по модулю 10 - это число из Z_{10}, и это разные объекты (хотя, разумеется, существует естественная проекция Z -> Z_{10}, переводящая одно в другое). Насчёт наглядности способа - IMHO он скорее запутывает: после заявления "комплексное число - класс эквивалентности" появляются вопросы типа: а вдруг все эти результаты - на самом деле одно и то же число, только по-разному записанное? а что будет, если записать исходное число не как e^(i*что-то), а ещё как-нибудь - может, ещё какие-то результаты получатся? Не, комплексное число - это именно число. Да, будет бесконечно много значений, и все они будут расположены на единичной окружности. Нет, они не будут заполнять всю окружность, и вообще их "всего" счётное количество, а на окружности континуум точек. Хотя можно доказать, что образовавшееся множество будет всюду плотно на этой окружности (на сколь угодно малом расстоянии от любой точки окружности найдётся точка из этого множества).
diamond Именно, если вместо комплексных чисел брать их классы. Стандартный пример: ((-1)^2) ^(1/2) - обычным образом получается 1 или -1, в зависимости от последовательности действий. А можно так: ((-1)^2) ^(1/2) = ({\Pi+2*k*\Pi}^2)^(1/2) = ({2*\Pi + 4*k*\Pi})^(1/2) = {\Pi+2*k*\Pi} = -1 (Обсчитался, теперь вроде верно?)
diamond Ага это расставляет все по свои местам, а где про это можно почитать, не очень углубляясь в теорию Риманова простанства? - wiki вообще возведение комплексных чисел в степень не рассмаривает, а Выгодский предлагает принять формулу Муавра выводимую для показателей степени в виде целых чисел в качестве определения для показателей степени в виде действительных чисел (смутно припоминаю, что в Универе делали также), при этом Выгодский утверждает, что "все математические действия со степенями остаются теми же, что при действительном основании"...
diamond То есть я понимаю верно: 1^\Pi - возведение в степень, где оба числа вещественны - будет иметь бесконечно много значений на единичной комплексной окружности? ) Вообще-то обычно такое возведение в степень непрерывно дополняют на вещественных числах.
Хм... с "можно спасти" я ошибся, что и демонстрирует этот пример: ((-1)^2) ^ (1/2) = 1 ^ (1/2) = {1,-1}, но (-1)^(2*(1/2)) = (-1)^1 = {-1}. -1 - это число, и оно не равно множеству {\Pi+2*k*\Pi}. Действительно, ln(-1) = {\Pi+2*k*\Pi}, но (-1)^2 = e^(2*ln(-1)) = e^(2*{\Pi+2*k*\Pi}) = e^{2*\Pi+4*k*\Pi} = 1 (или {1}) - все значения равны 1, а дальше 1^(1/2)= {1,-1}. Увы, не знаю. Только римановы пространства здесь ни при чём (Риман много чего делал), речь шла о римановых поверхностях. Совершенно верно. Точно так же, как и то, что 1^(1/3) имеет три значения. Вот именно поэтому возведение в иррациональную степень в ТФКП и не используется - кому приятно появление таких вот эффектов?
diamond Не равно, потому что не определили. Как только нормально определим, станет равно. e^{2*\Pi+4*k*\Pi} = 1 (или {1}) - все значения равны 1 На этом месте происходит затык, потому что мы отходим от классов. Функция e у нас схлопывает весь класс на число, поэтому и сбивается логика. Не бывает просто "значения 1", это должно быть какое-то подмножество из {2*k*\Pi}. То есть надо смотреть, как правильно определить e.. Вот это уже интересно
Видимо, неточная запись приводит к недоразумениям. Отождествление множества, состоящего из одного элемента, и самого этого элемента сокращает запись, но формально неверно. Если быть абсолютно формальным, то есть функция e^x (замечательная однозначная функция, определённая на всей комплексной плоскости); если есть какая-то функция на комплексных числах, то её можно применить ко всем элементам некоторого множества, состоящего из комплексных чисел, и получится опять же множество, составленное из результатов. e^{2\Pi+4k\Pi} = {1} - на входе есть множество, состоящее из элементов ..., -6\Pi, -2\Pi, 2\Pi, 6\Pi, ..., к каждому из элементов применяем экспоненту, и на выходе каждый раз получается 1.
Случайно наткнулся - http://ru.wikipedia.org/wiki/Возведение_в_степень - хотя статья скорее из серии "чтобы хоть что-то было", чем просветительская.
