Velheart Ну так а это значит что нельзя апелировать тем, что комплексное число это класс эквивалентности, а значит у него есть какие-то необычное свойства, по скольку и вещественное число по сути тоже класс эквивалентности.
_DEN_ Если все это рассматривать над полем комплексных чисел (ты даже в самом вопросе упомянул мнимые числа), то функция Z^(1/n) будет действительно многозначной и определяться (как сказал Velheart) на сложном топологическом пространстве (насколько я помню ТФКП, это будут разрезанные вдоль оси экземпляры плоскостей, скленные вдоль разрезов, что то вроде этого). ЗЫ В самом деле, почитал бы учебник по ТФКП.
Хех, а что значит необычные? =) Просто они отличны от свойств действительных чисел, разные множества разные свойства, причем множество действительных чисел не является само по себе подмножеством комплексных чисел, мы просто выделяем некоторое поле в C, и потом говорим: "хех, так оно же изоморфно полю действительных чисел!", и с этого момента считаем что комплексное число a+0*i -- действительное, но при этом надо понимать, что существуют некоторые отличия, при рассмотрении числа -1, например, как целое, действительное и комплексное =)
Velheart Да я-то согласен. Просто достаточно было сказать что возведение в степень в общем случае отображает не в C - вот и все.
Классы эквивалентности и сложные топопространства это конечно круто Но почему-то никого не удивляет, что корень из 4 имеет два решения = +2 и -2 и объясняется это на пальцах, т.к. 2^2=(-2)^2=4. И многозначность извлечения корня из комплексных чисел точно также на пальцах объсняется, как из алгебраической формы записи (a+i*b)^7 = -1+i*0 (два уравнения 7й степени), так и из геометрического представления и экспоненциальной формы записи (e^(i*fi))^7 == e^(i*fi*7) = -1 == e^(i*Pi), откуда с учетом цикличности угла получаем условие 7*fi = Pi+2*Pi*k, k = 0,1,..., дающее 7 различных решений для fi от 0 до 2*Pi
Блин, функция просто по определению может иметь только одно значение. Уравнение x^a = b, как и любое другое уравнение, вправе иметь несколько решений. Функция и решение уравнения - не одно и то же, %username%!!1 Тогда возникает вполне законный вопрос: (-1)^(1/7) - какую функцию мы здесь имеем ввиду?
Ну ежели так ставить вопрос, то логично брать ветку с минимальными значениями fi (при k = 0) - по аналогии с обратными тригонометрическими функциями
_DEN_ М.Я. Выгодский. Справочник по высшей математике. §200. Классификация функций. а) Функции подразделяются на однозначные и многозначные... leo Не совсем так - корень 4 степени из 16 имеет четыре равноправных значения 2, -2, i*2, -i*2, которые на комплексной плоскости расположены через Pi/2 (90°) а не через 2*Pi*k
ненадо путать арифметический корень и алгебраический корень. т.е. путаница в том что разные вещи обозначаются знаком радикала. Арифм. корень определен только над множ-вом действ. и неотрицательных чисел и его результат - действ. неотр. число, степень которого, равная степени корня, будет исходным числом, от которого брали корень (в школе допускали условную запись арифм. корня из отрицательного числа, но это строго говоря некорректно и использовалось просто для упрощения решения задачек). Алгебраический же корень дает множ-во комплексных решений с числом эл-тов, равных степени корня. Т.е. корень м.б. только целой степени, если он рациональный, то сначала число возводится в степент в соотв. со знаменателем степени корня, а потом остается только целый числитель и берется сам корень. Иррациональная степень... Известно что иррац. числа представимы ввиде бесконеч. непереодич. десятич. дроби, м.б. из этого факта следует бесконечность множ-ва результата иррац. степени
А задачка вообще-то дюже интересная Как (-1) ^ Pi, так и 1^Pi на комплексной плоскости будет иметь бесконечное множество значений, представляющее собой геометрическое место точек расположенных на окружности ридиусом 1 и с центром 0+i*0 )) Обоснование: Чтобы производить реальные вычисления с иррациональным Pi нам придётся его рационализировать, например так: 314/100, тогда (-1) ^ (314/100) будет иметь 100 комплексных решений расположенных через 2*Pi/100 ) или так: 314159/100000, тогда (-1) ^ (314/100000) будет иметь 100000 комплексных решений расположенных через 2*Pi/100000 ) И в пределе соответсвующем иррациональному Pi всё это безобразие сольётся в непрерывную окружность. Во блин как ))))
А ещё интереснее должен быть случай типа a^Pi, a^e и т.п. где a <> +-1 Тогда уже получится не окружность, а некая кривая, возможно нечто типа спирали, а может и нет, форма которой бужет зависеть как от a, так и от иррационального числа в показателе степени Но это будет именно непрерывная кривая - любопытно как нибудь на досуге её построить ))
Y_Mur Зачем же сразу \Pi брать? Следуя твоей логике я утверждаю, что (-1) ^ 1 имеет бесконечное множество значений. Так как 1 можно приближать через 9/10, 99/100, 999/1000 и так далее.
Y_Mur Ну либо г-н Выгодский имел ввиду функции, отображающие в N-мерное пространство, что не противоречит определению, либо он просто решил легкой рукой ввести новый термин Так или иначе, к теме это не относится))
Да тут дело не в том, как можно записать рац. число, а в том как нельзя записать иррац. число, а его вообще нельзя записать числом, потому что его дробная часть непереодична
Никак не пойму: куда это Вас понесло?! Изначально, всего-то требовалось определить (-1)^pi. Многие, поняли, что "школьной программой" здесь не обойтись, вспомнили даже, что есть комплексные числа... Задачка, же, решается просто и изящно, достаточно представить -1 как exp(i*pi): (exp(i*pi))^pi = exp(i*pi^2) = -0.9027 - i*0.4303 2 _DEN_ Комплексное! PS. Кто не верит - спросить MatLab.
Здесь имеем ввиду "взять алгебраический корень седьмой степени" что дает множ-во в семь элементов. В школе такая запись применялась для получения только одного числа -1 из множества всех комплексных, потому что с комплексными числами просто никто тогда не был знаком. Запись эквивалентна записи радикал(-1, 7), если под радикалом понимать алг. корень, если понимать под ним арифм. корень, то запись под радикалом отр. числа некорректна. Чтобы избежать этих противоречий в школе вводили всякие костыли вроде того что а вот если корень четный то будет так-то, а если нечетный то будет то-то, отсюда и путаница
Y_Mur А я разве говорил иное ? Через 2*Pi*k должны идти не углы fi, а значения fi*n, откуда при n = 4 имеем fi = (Pi/2)*k, k=0,1,2,3
_DEN_ N-мерное пространство тут совсем ни при чём Ты же не будешь спорить что arcsin и arccos это функции? а не что-то ещё? Просто функция - это в общем случае отображение одного множества в другое, а оно может быть взаимно однозначным, однозначным только для прямой функции или только для обратной функции. И график такой функции имеет перегиб/излом один для F(x)=X^2, два для F(x)=X^3, ... бесконечное множество перегибов для F(x)=sin(X) Stiver Интересное замечание Я конечно не буду спорить что 1 тоже относится к множеству действительных чисел, включающем в себя и целые и рациональные и иррациональные, но так уж исторически сложилось в математике, что правила сначала разработали для целых чисел, затем распространили их на рациональные, а затем ввели понятие иррациональных чисел определив их как предел последовательности из рациональных чисел вида а/10+b/100 + и т.д. Но я привел приближённые значения не потому что их обязательно рассматривать, а только чтобы проснить ситуацию - раз корню 1000 степени соответсвует 1000 решений, то корню бесконечной степени, который придётся рассматривать для иррационального Pi соответсвует бесконечное множество решений Но мы не можем в явном виде ни написать само число Pi )) (чего нельзя сказать про число 1, 2 и т.п.), ни результат этой функции Нам придётся довольствоваться приближённым значением Pi, которое в данном случае даст результат в виде конечного количества точек, лежащих на окружности ЗЫ: и с утверждением что для a<>+-1 будет кривая я пожалуй погорячился - нужно будет поискать эту функцию среди фракталов ))
