Формула Эйлера

Discussion in 'WASM.A&O' started by 10110111, Sep 20, 2007.

  1. Novi4ek

    Novi4ek New Member

    Blog Posts:
    0
    Может быть переход от e^нk*i => (e^н*i)^к неравносилен, т.к. в первой формуле нк можно произвольным образом менять на 2pi*k, а во второй н. Т.о. вторая фомула может быть записана как e^((н + 2pi)*i)^к) = e^(нк + 2pi*к)*i что из первой получить нельзя, т.к. к действительно.
     
  2. crypto

    crypto Active Member

    Blog Posts:
    0
    10110111
    Ну вот ты пишешь
    Теперь смотри
    cos(-pi)+i*sin(-pi) = -1, верно?
    (-1)^0.5 = i,
    т.е. твое равенство
    (cos(-pi)+i*sin(-pi))^0.5=cos(-pi/2)+i*sin(-pi/2)
    неправильное.

    И еще одно возражение: ты помнишь, что корень порядка k из мнимого числа - это на самом деле целое множество мнимых чисел? Так что твои фокусы с корнем не имеют права на существование.
     
  3. Novi4ek

    Novi4ek New Member

    Blog Posts:
    0
    Точно!
     
  4. 10110111

    10110111 New Member

    Blog Posts:
    0
    Ошибку осознал.
    Правда, это не решает проблемы темы...
     
  5. Novi4ek

    Novi4ek New Member

    Blog Posts:
    0
    выполнен неравносильный переход, получен неверный результат, что ж тут нерешенного?
     
  6. 10110111

    10110111 New Member

    Blog Posts:
    0
    То есть, из-за несправедливости одного из свойств степени для комплексных чисел?
     
  7. crypto

    crypto Active Member

    Blog Posts:
    0
    10110111
    Формула
    справедлива для phi=Pi=3.1459..., а для произвольного phi - нет.
     
  8. tz

    tz New Member

    Blog Posts:
    0
    x^k является множеством. Следовательно переход

    нужно понимать в следующем смысле: существует такое x в можножестве (e^(i*pi))^k и существует такое y в множестве (e^(-i*pi))^k такие, что

    Таким образом имеем не ((-1)^k - (-1)^k) == 0, а множество ((-1)^k - (-1)^k) содержит 0; или множество ((-1)^k - (-1)^k) / (2i) содержит sin(k*pi).
     
  9. crypto

    crypto Active Member

    Blog Posts:
    0
    tz
    Для каких значений x и k верно это утверждение? Я так понимаю, что если x - комплексное число, а k - целое (а вроде такие значения параметров здесь обсуждались), то Ваше утверждение неверно. Множеством будет корень из комплексного числа.
    ЗЫ
    Почитали бы весь топик сначала (тем более, что он сравнительно древний), все вопросы как бы решены уже, ИМХО.
     
  10. tz

    tz New Member

    Blog Posts:
    0
    2 crypto:
    Если x -- комплексное, а k -- целое, то можно считать x^k одноэлементным множеством. В данном случае это оказывается удобным.

    Из #2 следует, речь шла именно о действительных числах. И формула Эйлера справедлива для них.

    Для целых k никакого противоречия очевидно нет: sin(k*pi) = (-1)^k - (-1)^k = 0.

    Но я постарался подвести итог, и показать где скрывается ошибка в случае действительных значений k.