Задачки по дискретной математике

Плиз, помогите решить задачки:
1) Найти коэффициент x^k в разложении многочлена (2x^3 + x^2 +x -2)^5, k=5
2) (x^2 + x -2)^8, k=7.
Заранее спасибо!!!

 

Это математика примерно восьмого класса. Если ты младше, то поможем. В противном случае решай сам.

 

Не знаю как насчет 8-го класса, но нам такое преподают на 3 курсе института и даже примеров решения не дали.

 

http://ru.wikipedia.org/wiki/Бином_Ньютона

 

а с какого перепуга это вдруг дискреткой стало))?

 

Panda
1. (2x³ + x² + x - 2)^5 = (x²(2x + 1) + (x - 2))^5 = x^10*(2x + 1)^5 + 5x^8*(2x + 1)^4(x - 2) + 10*x^6*(2x + 1)^3*(x - 2)² + 10*x^4*(2x + 1)²*(x - 2)³ + 5*x²*(2x + 1)*(x - 2)^4 + (x - 2)^5.
В первых трех слагаемых младшая степень x > 5, поэтому нужно определить коэффициент при x^5 в оставшихся трех слагаемых.
Ну, с последним слагаемым все ясно, искомый коэффициент равен 1.
Берем слагаемое 10*x^4*(2x + 1)²*(x - 2)³. Нужный нам коэффициент равен 10*коэффициент при x в (2x + 1)²*(x - 2)³ = (4x² + 4x + 1)*(x³ - 6x² + 12x - 8) = коэффициент при x в (4x + 1)*(12x - 8). Итого получается 10*(12 - 32) = -200.
Со слагаемым 5*x²*(2x + 1)*(x - 2)^4 наверное справишься сам.

2. (x² + x - 2)^8 = (x-1)^8*(x+2)^8. Отсюда следует, что коэффициент при x^7 равен сумме по 0<=k<=7 слагаемых вида
[коэффициент при x^k в выражении (x-1)^8]*[коэффициент при x^(7 - k) в выражении (x+2)^8], а это произведение по формуле бинома Ньютона равно
[C(8, k)*(-1)^k]*[C(8, 7 - k)*2^(8 - (7 - k))] = [C(8, k)*(-1)^k]*[C(8, k + 1)*2^(k + 1)].

UbIvItS
Нахождение коэффициентов при заданных степенях x в достаточно сложных функциях (например, производящих функциях) может быть связано с перечислением количества объектов дискретной математики, обладающих нужными свойствами.

ЗЫ
Для решения 1 еще можно пользоваться формулой:
(a1*x1 + a2*x2 + ... + am*xm)^n = сумма по всем k1>=0,k2>=0,...,km>=0, k1 + k2 + ... + km = n слагаемых вида
C(n; k1, k2, ... , km)*a1^k1*a2^k2*...*am^km, где C(n; k1, k2, ... , km) - полиномиальный коэффициент:
C(n; k1, k2, ... , km) = n!/(k1!*k2!*...*km!).

 

Panda:

В соответствии с разделом форума оптимальным вариантом будет посмотреть ответ.

 

chAlx
Сначала нужно понять, как считать, и потратить несколько часов на конкретный пример, а уже потом пользоваться готовыми калькуляторами

 

Mikl___
Порочная система. Помню, как-то показывали результаты подобного обучения (не в нашей стране): младшеклассникам давали "подпаченные" калькуляторы, дающие неправильный результат, просили перемножить, скажем 2 на 2, калькулятор давал ответ 5, и дети давали ответы на этих "неправильных" значаениях, хоят многие из них все-таки знали, что дважды два - четыре.
Это конечно банальный пример, но кто может уверенно сказать, правильно работает данное устройство или нет?

 

crypto
Речь идет именно о полиномиальной формуле. Я могу найти коэффициент в первом случае, а во втором не могу разобраться. Если бы нам надо было найти коэффициент при x^8, то была бы формула
(x + x - 2)^8 = сумма по всем k (k1 + k2 + k3 = 8) (8!/k1!*k2!*k3!) * (x^2)^k1 * x^k2 * (-2)^k3 =
= сумма по всем k (k1 + k2 + k3 = 8) (8!/k1!*k2!*k3!) * x^(2*k1 + k2) * (-2)^k3
Составляем систему уравнений из 2-х уравнений с 3 неизвестными:
k1 + k2 + k3 = 8
2*k1 + k2 = 8
Из второго уравнения следует четность k2. В силу неотрицательности переменных k2 принимает значения 0, 2, 4, 6, 8. Находим все возможные значения k1 и k3. Подставляем их в формулу 8! * (-2)^k3 / k1! * k2! * k3!, затем суммируем получившиеся значения и получаем коэффициент при x^8.

А как найти коэффициент при x^7?

 

chAlx
Спасибо. Это поможет проверить себя, решать все равно надо - преподу один только ответ не покатит, но с ответом разобраться проще. А что это за чудо-ссылка?

 

Panda
Решаешь систему
k1 + k2 + k3 = 8
2*k1 + k2 = 7
простым перебором (благо вариантов с гулькин нос):
k1 k2 k3
0 7 1
1 5 2
2 3 3
3 1 4

А вариант
k1 + k2 + k3 = 8
2*k1 + k2 = 8
решается еще проще: если вычесть из второго уравнения первое, получим k1 = k3, то есть задача сводится к перебору решений уравнения 2*k1 + k2 = 8.

ЗЫ
На самом деле и система
k1 + k2 + k3 = 8
2*k1 + k2 = 7
сводится к решению уравнения 2*k1 + k2 = 7 (поскольку k3 = k1 + 1)

 

Её выдаёт чудо-Гугол на вопрос про factorize a polynomial online (но не сразу, а через Википедию).

 

Mikl___

Холмс и Ватсон летят на воздушном шаре и интересуются у прохожего, где они находятся, тот отвечает - в воздухе. На стандартный вопрос Ватсона, а что он думает по-поводу прохожего, Холмс говорит, что это математик: во-первых, его ответ абсолютно точен, во-вторых, абсолютно бесполезен.

 

crypto

ну, и что? у предмета есть объекты, кои он рассматривает, а есть вспомогательные инструменты, с помощью коих рассматриваются эти объекты. или может быть арифметику тоже причислять к дескретки? я, конечно, не спорю, что в математике есть разделы, где могут рассматриваться одинаковые объекты, но тут случай вопиющий)

 

crypto
спасибо! Со вторым разобралась, но теперь возникли проблемы с первым. В ответе, в который я зашла по ссылке, получается, что коэффициент при x^5 должен быть равен 1, а у меня получается дробь в первом же вычислении. Может, я не правильно решаю систему уравнений? Там уравнений получается также 2, а неизвестных - 4.

(2x^3 + x^2 + x - 2)^5 = сумма по всем k (k1 + k2 + k3 + k4 = 5) (5!/k1!*k2!*k3!*k4!) * 2^k1 * (-2)^k4 * x^(3k1+2k2+k3)

Составляем систему уравнений из 2-х уравнений с 4 неизвестными:
k1 + k2 + k3 + k4 = 5
3k1 + 2*k2 + k3 = 5
И получается ("к" нахожу перебором):
k1 k2 k3 k4 5!*2^k1*(-2)^k4 / k1!*k2!*k3!*k4!
0 0 5 3 -4/3
0 1 3 1 -40
0 2 1 2 120
1 0 2 2 240
1 1 0 3 -16
И, соответственно, в сумме 1 никак не получается и с ответом не совпадает.

 

UbIvItS
И тем не менее это дискретка.