Расскажите, пожалуйста, как найти верхнюю грань ряда 1 + (1/2)^r + (1/3)^r + ... + (1/n)^r, где r > 1.
AssemblerIA64 Что ряд сходится, легко доказать интегральным критерием Integral test for convergence. Но точное значение, если правильно помню, известно только для некоторых случаев r и общего пути вычисления не существует.
У Кнута написано, что верхняя грань равна 2^(p-1)/(2^(p-1) - 1). Но она больше, чем действительная верхняя грань. Может это просто прикидка?
На то она и верхняя грань. Следует отличать верхнюю грань от точной верхней грани и предела. Получить верхнюю грань как у Кнута довольно просто : 1 + (1/2)^r + (1/3)^r+(1/4)^r +...+(1/n)^r + ... = 1 + ( (1/2)^r + (1/3)^r ) + ( (1/4)^r + ... + (1/7)^r ) + ( (1/8)^r + ... + (1/15)^r ) + ... < [заменяем каждое слагаемое в каждой скобке на самое первое слагаемое в этой же скобке] < 1 + 2 * (1/2)^r + 2^2 * (1/4)^r + 2^3 * (1/8)^r + ... = [геометрическая прогрессия со знаменателем (1/2)^(r-1)] = 1 / ( 1 - (1/2)^(r-1) ) = 2^(r-1) / ( 2^(r-1) - 1 ).
Для случая r = 2 известно точная сумма данного ряда и она равна (Pi ^ 2 ) / 6. Для остальных ситуация похуже, но утверждать не буду, не осведомлен.
