Векторное произведение двух векторов длиной 5

Может кто-нибудь подскажет, как написать данную программу на assembler.

 

Может быть имеется ввиду скалярное произведение? Векторное произведение определено только в 3-х мерном пространстве. Или я неправильно понял вопрос?

 

Почему бы двум векторам не быть в трехмерном пространстве?



(x;y;z) = (x₁;y₁;z₁)x(x₂;y₂;z₂)

x = y₁*z₂ - y₂*z₁

y = x₁*z₂ - x₂*z₁

z = x₁*y₂ - x₂*y₁

Код (Text):

1.  
2. mov eax,[y1]
3. mul [z2]
4. mov edx,eax
5. mov eax,[y2]
6. mul [z1]
7. sub edx,eax
8. mov [x],edx
9. и так далее...
10.  

 

5-мерное пространство, если я правильно

интерпретирую вопрос

 

valterg

Да, телепатия на высоте Но в 5-мерном пространстве, насколько я понимаю, векторное произведение определено только для четырех векторов, а тут два

 

Arvensis

Здесь вроде бы не хватает минуса:

y = -(x₁*z₂ - x₂*z₁)

Интересно как выглядит это определение. Меня лично всю жизнь учили, что векторное произведение существует только для трёх измерений..

 

Stiver

Действительно, минус пропустил.

Для четырехмерных вроде определено - так же, как и для трехмерных, результат перпендикулярен всем трем сомножителям, по координатам точно так же считается определитель, только четвертого порядка. Логично предположить, что для пятимерных векторов нужны четыре вектора, из которых будут составляться четыре строки определителя.

Добавлено:

|i j k|

|x₁y₁z₁| = i*A₁₁+j*A₁₂+k*A₁₃

|x₂y₂z₂|



Аналогично

|i j k p q|

|x₁ y₁ z₁ p₁ q₁|

|x₂ y₂ z₂ p₂ q₂|

|x₃ y₃ z₃ p₃ q₃| = i*A₁₁+j*A₁₂+k*A₁₃ + p*A₁₄ + q*A₁₅

|x₄ y₄ z₄ p₄ q₄|

Поправлено: Разумеется, матрица квадратная

 

Arvensis

Хм, давай посмотрим. Если я правильно помню, векторное произведение c=axb определяется через его свойства:

1) c перпендикулярно a и b

2) |c|=|a||b|sin p

3) что-то про выбор направления из двух возможных, не суть важно



Формула для вычисления через координаты выводится из этих свойств(при активном использовании 2)). А значит имеет

примерно такое же отношение к векторному произведению, как x₁y₁+x₂y₂+x₃y₃ к скалярному и не может служить определением.



Свойства 1) и 3) можем оставить в покое, они мешать врядли будут. Осталось только сформулировать 2) для четырёх и более измерений так, чтобы формула выполнялась(на плоскости будет |c|=|a|). Наверное можно взять просто объём соответствующей фигуры(n-мерного параллелограмма), в четырехмерном значит |d|=|a||b||c|sin p cos f. Надо будет просчитать в общем виде, как время будет займусь.

 

Stver

Я предполагаю, что векторным произведением в 5-мерном пространстве можно назвать только такую операцию, которая имеет свойства, аналогичные произведению в трехмерном пространстве.

Пусть (i,j,k,p,q) - канонический базис в пятимерном линейном пространстве. Его будем считать правым.

Попробуем провести параллели



Произведение коллинеарных векторов = нуль-вектор => произведение линейно-зависимых векторов = нуль-вектор



[i,j]=k => [i,j,k,p]=q



[j,i]=-k => [σ(i,j,p,q)]=(-1)^Sk, где σ(i,j,p,q) - произвольная перестановка, а S - количество инверсий в σ. Аргументируем: если поменять местами два вектора в произведении, их модули не изменятся, а пространственное положение "отзеркалируется", то есть, то, что в пятимерном произведении выступает в роли синуса угла трехмерного произведения, приобретет противоположный знак. То есть, каждая инверсия относительно (i,j,k,p,q) в множителях поменяет знак произведения на противоположный.



[a,b+c]=[a,b]+[a,c] => [a,b,c,d+e]=[a,b,c,d]+[a,b,c,e]



[λa;b]=λ[a,b] => [λa,b,c,d]=λ[a,b,c,d]



Надеюсь, эти предположения не кажутся более надуманными, чем |d|=|a||b||c|sin p cos f?



Учитывая изложенные свойства, несложно прийти к алгоритму нахождения координат произведения через координаты множителей.



[(x₁i,y₁j,z₁k,u₁p,v₁q),(x₂i,y₂j,z₂k,u₂p ,v₂q),(x₃i,y₃j,z₃k,u₃p,v₃q),(x₄i,y₄j, z₄k,u₄p,v₄q) = x₁x₂x₃x₄[iiii] + x₁x₂x₃y₁[iiij]+...+v₁v₂v₃v₄[qqqq]



Элементы, в векторное произведение которых один базисный вектор попадает дважды, равны нулю как произведение линейно зависимых векторов. Следовательно, в сумму попадут только элементы вида x_ay_bz_cu_d[σ(ijkp)], причем знак каждого элемента зависит от четности перестановки σ. А здесь несложно увидеть детерминанту матрицы, нарисованной в моем предыдущем посте.

 

Интересная ситуация вырисовывается:

автор темы подкинул некорректно поставленный вопрос и пропал, энтузиасты-телепаты его домыслили и решили развить "недоработанную" теорию векторного и тензорного анализа и линейной алгебры. Ну-ну, дерзайте



Насколько, я понимаю векторное произведение определено только в 3-мерном пространстве и имеет важное значение в механике и физике. Изобретая "аналоги" для многомерных пространств, стоит задаться вопросом - а нафиг это нужно и какой это может иметь смысл, и наверное поэтому такого понятия и нет.

Кстати в тензорной алгебре есть понятие альтернированное произведение двух векторов, которое представляет собой тензор 2 ранга с компонентами: V_ij = a_ib_j-a_jb_i. Ну чем вам не "аналог" векторного произведения ?



Хотя возможно изначальный вопрос - это школьная задача и под "длиной 5" подразумевается именно длина вектора, а не размерность пространства, т.е. |a|=a*a. Иначе следовало бы писать "5-мерных векторов".

 

leo

Школьная? Не смеши, в школе даже паскаль преподавать перестали Теперь Ворд и операционная система Виндоуз. У меня сохранилось определение панели задач из школы - "серая полоска внизу экрана". Впрочем, тогда становится понятно, почему вопрос так поставлен. Во всем виновато министерство образования

 

Arvensis

Согласен, логично.



Порылся в конспектах и нашел следующее, как мне кажется самое элегантное определение(сначала в трёхмерном):



|a₁ b₁ w₁|

|a₂ b₂ w₂|=:det(a|b|w)=<axb,w>

|a₃ b₃ w₃|

должно выполняться для всех векторов w (<a,b> - скалярное произведение a и b).



То есть например в пятимерном с векторами a,b,c,d имеем

<axbxcxd,w>=det(a|b|c|d|w)

Теперь возьмём каноническое скалярное произведение и получим искомую формулу в готовом виде. А заодно и все свойства векторного произведения (через свойства детерминанты в правой части).



Остаётся только вопрос длины |axbxcxd|.



leo

Поэтому я и "зациклился" на длине, стараюсь сохранить геометрический смысл.