У комрада Кнута есть такая строчка: x mod m = y mod m тогда и только тогда когда x = y по модулю m. Что означает "равенство чисел по модулю" ?
Тоесть, если: x mod m = y mod m && (x-y) mod m = 0 то x = y по модулю? А может ли быть ситуация, что: x mod m = y mod m && (x-y) mod m != 0 ?
captain cobalt Так какой смысл тогда во фразе x mod m = y mod m тогда и только тогда когда x = y по модулю m. ??? Те же яйца, вид с боку. Назвали одно и тоже по-разному. Например, можно сказать что "арксинус равен нулю тогда и только тогда когда аргумент равен нулю" - тут есть хоть какой-то смысл. Это разные вещи, свяанные неким свойством. А вот какой смысл во фразе Кнута тогда?
_DEN_ смотри: 1) из равенства x mod m = y mod m следует равенство x = y по модулю m. 2) из равенства x = y по модулю m следует x mod m = y mod m это полная расшифровка фразы Кнута смысл в том, что для некоторых x,y,m может случиться, что x != y, a x(mod m) = y(mod m)
то есть, забыл вчера написать, равенство по модулю и обычное равенство - это две большие разницы. Тоесть "равенство по модулю" это просто понятие? а что еще ты ожидал? но это понятие крутое. модульная алгебра позволяет делать очень многое. для смеха: я однажды доказывал, что 21=3. Доказал! )) hint: (3*7)(mod 3) = (3*1)(mod 3)
slow Понятие всмысле... Например. Общая терия рядов Фурье. Возьмем ортонормированную последовательность. Есть два понятия - последовательность замкнута и последовательность полна. Это разные понятия, но одно следует из другого. А "равенство по подулю" это всего лишь название свойства "x mod m = y mod m" ?
Можно рассматривать "равенство по модулю" как отношение эквивалентности для чисел. Тогда это отношение разобьет множество (целых) чисел на классы, каждый из которых замкнут и обособлен от остальных. Тогда смысл фразы Кнута, повторюсь, в том, что равенство по модулю и обычное равенство - это две большие разницы. Но фишка заключается вот в чем. В некоторых случаях вычисления в поле R можно свести к вычислениям в суррогатных полях, например полях Галуа GF(p) (р-простое) и существенно их упростить. По этому поводу хочу написать масенькую статейку сюда, да все руки не доходят, а дело-то полезное и несложное. з.ы. Приятно, что иногда людям хочется докопаться до исконного смысла вещей ) з.з.ы. Ты не учишься на математическом факультете какого-нить вуза?
slow Ну если "Ты" это я, то нет По универской специальности я обычный САПРовец Математика больше для души.
Модуль это штука хитрая. Как правило вместе с ним возникает понятия кольца. Понятия кольца я понял на примере часов: Мы не говорим что если сейчас 5 утра то через 24 часа будет 29 часов, а говорим будет теже самые 5 утра,т.к. ограничивающий фактор равен 24, то бишь модуль. Такой ясный пример приведен в книеге Романец, по криптографии. Также логично заметить что через 48 часов будет не 53 часа, а теже самые 5 утра, то есть как я понял возникают "новые" абстрактные числа, но вроде вполне осязаемые которые равны цифре 5, это 29,53, и 53+24*n.
EvilsInterrupt знаешь, модуль (как алгебраическая структура) и модуль в смысле число элементов в группе Z(p) - вещи сугубо разные, хоть и называются одинаково. Кольцо - это алгебраическая структура над множеством элементов Х, где определены 2 бинарные операции, условно называемые сложением и умножением, причем по сложению кольцо является абелевой группой, есть еще требования на операцию умножения и на связь операций. Не понял, при чем в описываемом тобой примере кольцо? Ты имеешь в виду кольцо Z(p)? Так это всего лишь частный, хотя и важный, пример кольца. Плохо понятно, причем тут новые "абстрактные" числа? Никаких таких чисел нет и не может быть. В группе Z(p) операция сложения определяется так: a(mod p) + b (mod p)=(a + b)(mod p), то есть результатом операции будет число из Z(p). Конечно, можно устроить на множестве Z отношение эквивалентности, относя в одно подмножество те числа, остатки от деления на которые будут равными, факторизовать Z по этому отношению эквивалентности и получить Z(p). Никакой особой хитрости в понятии модуля нет, это всего лишь достаточно абстрактное математическое понятие.
slow спасибо тебе. Я подумал и почитал книги многое понял, но такая математика через чур трудна для понимания. Для меня модуль видится в таком свете: Если у мамы есть суп(то у меня ряд чисел) и есть кастрюля, в котором содержится этот суп(то для меня модуль, в котором содержатся эти числа из ряда). Еще я не понял "алгебраическая структура", предпологаю это ряд элементарных операций, которые можно выполнить над рядом чисел. Тогда не совсем понятно "кольцо", если тебе не трудно напиши поподробней
http://www.computer-museum.ru/histussr/sok0.htm если кто еще не видел... ИМХО, очень интересно, хотя и не совсем понятно
о понятии модуля рассмотрим конкретный пример. пусть у нас есть множество - "суп", элементы его - картошка, огурцы, помидоры. назовем подмножество всех посоленных мамой огурцов в супе словом "огурцы", всех картофелин-"картошка", всех привозных азербайджанских помидоров в супе-"помидоры". теперь мы каждый элемент супа - можем отнести к конкретному классу - картоху к "картошке", и т.п. теперь мы не говорим, что в супе 12 картошин, мы говорим, что в супе есть картошка. это позволяет нам назвать супом не только тот, в котором 12 картошин, но и тот, в котором их, например, 15. о понятии кольца положим есть у нас множество М, состоящее из каких-нибудь элементов любой природы, условно назовем их "числами". определим на этом множестве операцию(любого смысла), обозначаемую условно знаком "+" и называемую условно "сложением". Эт операция может быть абсолютно любой, лишь бы она удовлетворяла некоторым условиям, интуитивно понятным: ассоциативность("число 1"+("число 2"+"число 3")=("число 1"+"число 2")+"число 3"), нейтральный элемент("ноль": "число"+"ноль"="число") и замкнутость("сумма" двух "чисел" тоже "число"). Если таковая операция на множестве М у нас введена, и удовлетворяет указанным условиям, то говорят, что на множестве М построена алгебраическая структура, называемая полугруппой. Это, наверное, простейшая из алгебраических структур, которые можно определить на множестве. Для того, чтобы получилась группа, необходимо, чтобы у каждого элемента был "обратный" ("число"+"обратное к нему"="ноль"). Если операция в группе обладает коммутативностью(т.е "число 1"+"число 2"="число 2"+"число 1"), то группа называется абелевой. Простой пример абелевой группы - множество целых чисел по сложению. Кольцо - это алгебраическая структура на множестве, где определены 2 операции - "сложение" и "умножение", причем по сложению кольцо является абелевой группой, по умножению - полугруппой и выполнено некоторое свойство, связывающее операции - дистрибутивность("число 1"*("число 2"+"число 3")=(число1*число2)+("число 1" * "число 3")). Пример кольца построить чуток сложнее. писанины оч много. поэтому пока пример писать не буду, но если попросишь- напишу. з.ы. уважаемые, не открыть ли отдельную ветвь форума по математике?
