МАССАЧУСЕТСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ. СРАВНЕНИЕ.

Код (Text):

1. МАТ. ПРОГРАММА МТИ:
2. • Первый курс
3. o   Анализ на $R^n$. Дифференциал отображения. лемма о сжимающем отображе-нии. Теорема о неявной функции. Интеграл Римана и Лебега. ("Анализ" Лорана Шварца, "Анализ" Зорича, "Задачи и теоремы из функ. анализа" Кириллова-Гвишиани)
4. o   Гильбертовы пространства, банаховы пространства (определение). Существова-ние базиса в гильбертовом пространстве. Непрерывные и разрывные линейные операторы. Критерии непрерывности. Примеры компактных операторов. ("Ана-лиз" Лорана Шварца, "Анализ" Зорича, "Задачи и теоремы из функ. анализа" Ки-риллова-Гвишиани)
5. o   Гладкие многообразия, субмерсии, иммерсии, теорема Сарда. Разбиение едини-цы. Дифференциальная топология (Милнор-Уоллес). Трансверсальность. Степень отображения как топологический инвариант.
6. o   Дифференциальные формы, оператор де Рама, теорема Стокса, уравнение Мак-свелла электромагнитного поля. Теорема Гаусса-Остроградского как частный пример.
7. o   Комплексный анализ одного переменного (по книге Анри Картана либо первому тому Шабата). Контурные интегралы, формула Коши, теорема Римана об отобра-жениях из любого односвязного подмножества $C$ в круг, теорема о продолже-нии границ, теорема Пикара о достижении целой функцией всех значений, кроме трех. Многолистные функции (на примере логарифма).
8. o   Теория категорий, определение, функторы, эквивалентности, сопряженные функ-торы (Маклэйн, Categories for working mathematician, Гельфанд-Манин, первая глава).
9. o   Группы и алгебры Ли. Группы Ли. Алгебры Ли как их линеаризации. Универ-сальная обертывающая алгебра, теорема Пуанкаре-Биркгоффа-Витта. Свободные алгебры Ли. Ряд Кэмпбелла-Хаусдорфа и построение группы Ли по ее алгебре (желтый Серр, первая половина).
10. • Второй курс
11. o   Алгебраическая топология (Фукс-Фоменко). Когомологии (симплициальные, син-гулярные, де Рама), их эквивалентность, двойственность Пуанкаре, гомотопиче-ские группы. Размерность. Расслоения (в смысле Серра), спектральные последо-вательности (Мищенко, "Векторные расслоения..."). Вычисление когомологий классических групп Ли и проективного пространства.
12. o   Векторные расслоения, связность, формула Гаусса-Бонне, классы Эйлера, Черна, Понтрягина, Штифеля-Уитни. Мультипликативность характера Черна. Класси-фицирующие пространства ("Характеристические Классы", Милнор и Сташеф).
13. o   Дифференциальная геометрия. Связность Леви-Чивита, кривизна, алгебраическое и дифференциальное тождество Бьянки. Поля Киллинга. Кривизна Гаусса дву-мерного риманова многообразия. Клеточное разбиение пространства петель в терминах геодезических. Теория Морса на пространстве петель (по книге Милно-ра "Теория Морса" и Артура Бессе "Эйнштейновы Многообразия"). Главные рас-слоения и связности в них.
14. o   Коммутативная алгебра (Атья-Макдональд). Нетеровы кольца, размерность Крулля, лемма Накаямы, адическое пополнение, целозамкнутость, кольца дис-кретного нормирования. Плоские модули, локальный критерий плоскости.
15. o   Начала алгебраической геометрии. (первая глава Хартсхорна либо Шафаревич либо зеленый Мамфорд). Афинное многообразие, проективное многообразие, проективный морфизм, образ проективного многообразия проективен (через ре-зультанты). Пучки. Топология Зариского. Алгебраическое многообразие как окольцованное пространство. Теорема Гильберта о нулях. Спектр кольца.
16. o   Начала гомологической алгебры. Группы Ext, Tor для модулей над кольцом, ре-зольвенты, проективные и инъективные модули (Атья-Макдональд). Построение инъективных модулей. Двойственность Гротендика (по книжке Springer Lecture Notes in Math, Grothendieck Duality, номера примерно 21 и 40).
17. o   Теория чисел; локальные и глобальные поля, дискриминант, норма, группа клас-сов идеалов (синяя книжка Касселса и Фрелиха).
18. o   Редуктивные группы, системы корней, представления полупростых групп, веса, форма Киллинга. Группы, порожденные отражениями, их классификация. Кого-мологии алгебр Ли. Вычисление когомологий в терминах инвариантных форм. Сингулярные когомологии компактной группы Ли и когомологии ее алгебры. Инварианты классических групп Ли. (желтый Серр, вторая половина; Герман Вейль, "Инварианты классических групп"). Конструкции специальных групп Ли. Алгебры Хопфа. Квантовые группы (определение).
19. Третий курс
20. o   К-теория как когомологический функтор, периодичность Ботта, алгебры Клиф-форда. Спиноры (книжка Атьи "К-Теория" либо А.С.Мищенко "Векторые рас-слоения и их применение"). Спектры. Пространства Эйленберга-Маклейна. Бес-конечнократные пространства петель (по книжке Свитцера либо желтой книжке Адамса либо Адамса "Lectures on generalized cohmology", 1972).
21. o   Дифференциальные операторы, псевдодифференциальные операторы, символ, эллиптические операторы. Свойства оператора Лапласа. Самосопряженные опе-раторы с дискретным спектром. Оператор Грина и приложения к теории Ходжа на римановых многообразиях. Квантовая механика. (книжка Р.Уэллса по анализу либо Мищенко "Векторые расслоения и их применение").
22. o   Формула индекса (Атья-Ботт-Патоди, Мищенко), формула Римана-Роха. Дзета-функция оператора с дискретным спектром и ее асимптотики.
23. o   Гомологическая алгебра (Гельфанд-Манин, все главы проме последней). Когомо-логии пучков, производные категории, триангулированные категории, производ-ный функтор, спектральная последовательность бикомплекса. Композиция триан-гулированных функторов и соответствующая спектральная последовательность. Двойственность Вердье. Формализм шести функторов и превратные пучки.
24. o   Схемная алгебраическая геометрия, схемы над кольцом, проективные спектры, производные функции, двойственность Серра, когерентные пучки, замена базы. Собственные и отделимые схемы, валюативный критерий собственности и отде-лимости (Хартсхорн). Функторы, представимость, пространства модулей. Прямые и обратные образы пучков, высшие прямые образы. При собственном отображе-нии высшие прямые образы когерентны.
25. o   Когомологические методы в алгебраической геометрии, полунепрерывность ко-гомологий, теорема Зариского о связности, теорема Штейна о разложении.
26. o   Кэлеровы многообразия, теорема Лефшеца, теория Ходжа, соотношения Кодаи-ры, свойства оператора Лапласа (нулевая глава главы Гриффитса-Харриса, по-нятно изложена в книжке Андре Вейля "Кэлеровы многообразия"). Эрмитовы расслоения. Линейные расслоения и их кривизна. Линейные расслоения с поло-жительной кривизной. Теорема Кодаиры-Накано о занулении когомологий (Гриффитс-Харрис).
27. o   Голономии, теорема Амброза-Зингера, специальные голономии, классификация голономий, многообразия Калаби-Яу, гиперкэлеровы, теорема Калаби-Яу.
28. o   Спиноры на многообразии, оператор Дирака, кривизна Риччи, формула Вейцен-бека-Лихнеровича, теорема Бохнера. Теорема Богомолова о разложении многооб-разий с нулевым каноническим классом (Артур Бессе, "Эйнштейновы многообра-зия").
29. o   Когомологии Тэйта и теория полей классов (Касселс-Фрелих, синяя книжка). Вы-числение фактора группы Галуа числового поля по коммутанту. Группа Брауэра и ее приложения.
30. o   Эргодическая теория. Эргодичность бильярдов.
31. o   Комплексные кривые, псевдоконформные отображения, пространства Тейхмюл-лера, теория Альфорса-Берса (по книжке Альфорса тоненькой).
32. • Четвертый курс.
33. o   Рациональный и проконечный гомотопический тип Нерв этального покрытия клеточного пространства гомотопически эквивалентен его проконечному типу. Топологическое определение этальных когомологий. Действие группы Галуа на проконечном гомотопическом типе (Сулливан, "Геометрическая топология").
34. o   Этальные когомологии в алгебраической геометрии, функтор сравнения, гензеле-вы кольца, геометрические точки. Замена базы. Любое гладкое многообразие над полем локально в этальной топологии изоморфно $A^n$. Этальная фундамен-тальная группа (Милн, обзор Данилова из ВИНИТИ и SGA 4 1/2, первая статья Делиня).
35. o   Эллиптические кривые, j-инвариант, автоморфные формы, гипотеза Таниямы-Вейля и ее приложения к теории чисел (теорема Ферма).
36. o   Рациональные гомотопии (по последней главе книжки Гельфанда-Манина либо статье Гриффитса-Моргана-Длиня-Сулливана). Операции Масси и рациональный гомотопический тип. Зануление операций Масси на кэлеровом многообразии.
37. o   Группы Шевалле, их образующие и соотношения (по книжке Стейнберга). Вы-числение группы K_2 от поля (Милнор, Алгебраическая К-Теория).
38. o   Алгебраическая К-теория Квиллена, $BGL^+$ и $Q$-конструкция (обзор Суслина в 25-м томе ВИНИТИ, лекции Квиллена - Lecture Notes in Math. 341).
39. o   Комплексные аналитические многообразия, когерентные пучки, теорема Ока о когерентности, теорема Гильберта о нулях для идеалов в пучке голоморфных функций. Нетеровость кольца ростков голоморфных функций, теорема Вейершт-расса о делении, подготовительная теорема Вейерштрасса. Теорема о разветвлен-ном накрытии. Теорема Грауэрта-Реммерта (образ компактного аналитического пространства при голоморфном морфизме аналитичен). Теорема Хартогса о про-должении аналитической функции. Многомерная формула Коши и ее приложения (равномерный предел голоморфных функций голоморфен).
40. • Пятый курс
41. o   Теория Кодаиры-Спенсера. Деформации многообразия и решения уравнения Маурера-Картана. Разрешимость Маурера-Картана и операции Масси на DG-алгебре Ли когомологий векторных полей. Пространства модулей и их конечно-мерность (см. лекции Концевича, либо собрание сочинений Кодаиры). Теорема Богомолова-Тиана-Тодорова о деформациях Калаби-Яу.
42. o   Симплектическая редукция. Отображение моментов. Теорема Кемпфа-Несс.
43. o   Деформации когерентных пучков и расслоений в алгебраической геометрии. Геометрическая теория инвариантов. Пространство модулей расслоений на кри-вой. Стабильность. Компактификации Уленбек, Гизекера и Маруямы. Геометри-ческая теория инвариантов это симплектическая редукция (третье издание Гео-метрической Теории Инвариантов Мамфорда, приложения Фрэнсис Кирван).
44. o   Инстантоны в четырехмерной геометрии. Теория Дональдсона. Инварианты До-нальдсона. Инстантоны на кэлеровых поверхностях.
45. o   Геометрия комплексных поверхностей. Классификация Кодаиры, кэлеровы и не-кэлеровы поверхности, схема Гильбертя точек на поверхности. Критерий Кас-тельнуово-Энриквеса, формула Римана-Роха, неравенство Богомолова-Мияока-Яу. Соотношения между численными инвариантами поверхности. Эллиптические поверхности, поверхность Куммера, поверхности типа K3 и Энриквеса.
46. o   Элементы программы Мори: теорема Каваматы-Фивега об обращении в ноль, теоремы о свободе от базисных точек, теорема Мори о конусе (Клеменс-Коллар-Мори, "Многомерная комплексная геометрия", плюс не переведенные Коллар-Мори и Кавамата-Матсуки-Масуда).
47. o   Стабильные расслоения как инстантоны. Уравнение Янг-Миллса на кэлеровом многообразии. Теорема Дональдсона-Уленбек-Яу о метриках Янг-Миллса на ста-бильном расслоении. Ее интерпретация в терминах симплектической редукции. Стабильные расслоения и инстантоны на гиперкэлеровых многообразиях; явное решение уравнения Маурера-Картана в терминах оператора Грина.
48. o   Псевдоголоморфные кривые на симплектическом многообразии. Инварианты Громова-Уиттена. Квантовые когомологии. Зеркальная гипотеза и ее интерпрета-ции. Структура группы симплектоморфизмов (по статье Концевича-Манина, книжке Полтеровича "Симплектическая геометрия", зеленой книжке о псевдого-ломорфных кривых и запискам лекций МакДафф и Саламона).
49. o   Комплексные спиноры, уравнение Зайберга-Уиттена, инварианты Зайберга-Уиттена. Почему инварианты Зайберга-Уиттена равны инвариантам Громова-Уиттена.
50. o   Гиперкэлерова редукция. Плоские расслоения и уравнение Янг-Миллса. Гиперкэ-лерова структура на пространстве модулей плоских расслоений (Хитчин-Симпсон).
51. o   Смешанные структуры Ходжа. Смешанные структуры Ходжа на когомологиях алгебраического многообразия. Смешанные структуры Ходжа на мальцевском пополнении фундаментальной группы. Вариации смешанных структур Ходжа. Теорема о нильпотентной орбите. Теорема об $SL(2)$-орбите. Близкие и исче-зающие циклы. Точная последовательность Клеменса-Шмида (по красной книжке Гриффитса "Transcendental methods in algebraic geometry").
52. o   Неабелева теория Ходжа. Вариации структур Ходжа как неподвижные точки $C^*$-действия на пространстве модулей расслоений Хиггса (диссертация Симп-сона).
53. o   Гипотезы Вейля и их доказательство. L-адические пучки, превратные пучки, ав-томорфизм Фробениуса, его веса, теорема о чистоте (Beilinson, Bernstein, Deligne, плюс Делинь, Гипотезы Вейля II).
54. o   Количественная алгебраическая топология Громова, (по книжке Громова "Metric structures for Riemannian and non-Riemannian spaces"). Метрика Громова-Хаусдорфа, прекомпактность множества метрических пространств, гиперболиче-ские многообразия и гиперболические группы, гармонические отображения в ги-перболические пространства, доказательство теоремы Мостова о жесткости (два компактные кэлеровы многообразия, накрываемые одним и тем же симметриче-ским пространством X отрицательной кривизны, изометричны, если их фунда-ментальные группы изоморфны, а dim X > 1).
55. o   Многообразия общего типа, метрики Кобаяши и Бергмана, аналитическая жест-кость (Сиу).

И я понял, что летим мы по сравнению с ними по полной....

 

Содержимое первого и части курса мне оказалось знакомым до пошлости, причем в МТИ я за этим не ездил. А потом я отуда свалил нахрен туда, где бумажку получить проще, и ни малейших сожалений об том не испытываю. Ибо геморрою изучение математики доставляет много, а радости - никакой.

 

программа первого курса и отчасти второго - стандартный курс анализа/дифф геометрии в современном изложении. Изучается в МГУ, НМУ и многих других вузах на первых двух курсах в том же объеме. Третий курс и далее - то что нужно алгебраисту или топологу и никому больше.

 

А мне бы хотелось получить второе высшее в ЭмАйТи - как доктор фриман из HL2

 

умные перечни у нас тоже умеют сочинять

 

Первый вопрос: что значит "программа"? Изучается в обязательном порядке всеми студентами математического направления? Или просто набор предлагаемых курсов? С системой обучения в MIT я знаком слабо, но почему-то было ощущение, что курсы можно в некоторых пределах свободно выбирать.

Список сам по себе действительно очень сильный, но с другой стороны и однобокий. Целью видимо является подготовка именно ученых-исследователей, работающих на "переднем крае" современной математики. С этой точки зрения программа замечательная и своей цели обязательно достигнет. Если конечно человек весь этот материал поймет и прочувствует, а не скопытится на полдороге. Но с другой стороны отсутствует практически вся прикладная математика: дискретика, численные методы (которые нам например два года с лишним читали), вероятностные методы, оптимизация, теория информации и т.д. Так что сравнивать нужно осторожно.

Читать группы Ли на первом, а теорию чисел на втором курсе - оригинально

 

Хехехе... чтобы человек, ОСОЗНАЛ что то и научился ПРИМЕНЯТЬ ЭТО НА ПРАКТИКЕ, он должен пройти хорошую практику, иначе знания - бесполезный груз.

Вспоминается далекая родная школа и физмат класс. После изучения какой либо темы по математике мы исписывали по нескольку (6-7) тетрадей в неделю в процессе решения задач на данную тему, плюс задачи повышенной сложности. "Набивали руку" так сказать... И после набивания оскомины ученик начинал осознавать, что до конца осознал теорию только после долгой практики )))

Теперь взгляните на список и подумайте - сколько потребуется времени и сил, чтобы КАЧЕСТВЕННО и ПОЛНОСТЬЮ разобраться в данных вопросах. Я бы от такой необходимости впал в уныние. К счастью это необязательно. )) Всё знать никому не подсилу, я не думаю, что каждый из перечисленных в списке светил математики отлично разбирался в теориях, разработанных остальными учеными из того же списка. Каждый должен заниматься своим делом и быть спецом в своей области... ну или в нескольких областях.

ИМХО попытка заставить студента полностью осознать приведенные в списке дисциплины - верный способ вызвать у него Brain overflow. А поверхностно нахвататься из умных книжек сгодится только чтобы умничать по пьяни перед тупыми собутыльниками, имеющими 7.5 классов образования )))

 

Хехе, похоже кто-то пыхнул неслабо )))))))

 

хочу сказать что в хохляндии в большом городе, (но не в столице) в вузе по направлению ПО недают вообще ничего из всего этого

 

Насколько я знаю, там принята такая система из перечня дисциплин студент выбирает, нужное ему число, чтобы набрать нужный ему балл. Зато освоить нужно по-хорошему, а не абы как.
Так что "МАТ. ПРОГРАММА МТИ" это перечень дисциплин которые могут предложить студенту в МТИ по направлению математика.

 

rain

Гы, ты случайно не с фавта?

 

Pavia
Вроде это только в младшей и средней школах так.

 

n0name
Во многих ВУЗах на западе предметы делятся на группы:
1) Обязательные общеобразовательные
2) Обязательные для специальности
3) Специальные по выбору - нужно выбрать N из M (0<N<=M); таких групп предметов несколько
4) Общеобразовательные ("нагрузочные") по выбору (см. п. 3)
5) Необязательные

При этом у большинства предметов есть "зависимости" типа "для курса X нужно минимум 4 по курсам P и Q"

 

А откуда дровишки? В смысле, кем был сделан перевод и где оригинал? Некоторые инверсии в последовательности изучения заставили меня насторожиться.

 

rain

И это вполне понятно. Потому что для написания 99.9% ПО оно нахрен не надо.

 

Первоисточник этого перечня я нашел - ЖЖ Ph.D. из Гарварда Михаила Вербицкого, который преподавал в НМУ. Но он нигде не указывает, что это программа МТИ, а называет это его собственными мыслями. Ссылка http://imperium.lenin.ru/~verbit/LJ/tiphareth/2002/2/104378.html (на LJ уже удалили журнал)

 

первый раз слышу о неком фавте

 

CyberManiac
+1
rain
Просто учусь в Одессе, вот и решил спросить... Не слышал о фавте? Ты не много потерял