Пару дней назад у The_Svina'a в ЖЖ всплыла задача, в математическом плане ничего выдающегося собой не представляющая, но относящаяся к так называемым "контраинтуитивным" проблемам, то есть противоречащим усредненной здравой интуиции (что и видно по полученным ответам - 67, 100..) Для меня это послужило поводом лишний раз вспомнить небольшую задачку, сформулированную в свое время вместе с одним товарищем еще в школе. Не уверен почему, но она служит мне до сих пор своеобразныи эталоном контраинтуитивности. Берем некоторое количество цветных фломастеров(цвета не повторяются) и снимаем с них колпачки. Колпачки, которые тоже цветные, выкладываем в линию в произвольном порядке. Сами фломастеры перемешиваем под партой, тянем вслепую и выкладываем по очереди напротив колпачков. В конце подсчитываем, сколько раз цвет колпачка совпал с цветом фломастера. Понятно, что количество совпадений будет случайной величиной в пределах от 0 до количества фломастеров. Задание: найти математическое ожидание этой величины в зависимости от количества фломастеров.
Black_mirror Не тут задачка сложнее.((2^N)*N/2-(N-1)*N)/(2^N-N)=N*(2^(N-1)-(N-1))/(2^N-N)=> n*((1 shl (n-1))-(n-1))/((1 shl n)-n)
Stiver Результат зависит от количества фломастеров каждого цвета. Если каждый цвет встречается по 1 разу, то это классическая задача о совпадениях: http://www.statsoft.ru/home/portal/dataan/combinations/combinations.htm#part4
Black_mirror Совершенно верно, ожидание будет равно 1, независимо от количества фломастеров. Для n = 1,2,3 считается в уме, потом предполагается по аналогии и доказывается например с помощью полной индукции. Выходит можно взять один фломастер, а можно 10000, и все равно в итоге получим одно совпадение - лично у меня этот факт в голове не укладывается и вряд ли когда-нибудь уложится Интересно, существует ли где-нибудь сборник или список "контраинтуитивных" задач? Известная задача о трех дверях тоже бы туда например попала. Если нету, можно попробовать составить..
Stiver Можно обойтись без индукции, если взять все N! расстановок, то цвет некоторого фломастера совпадёт с цветом колпачка в (N-1)! из них. Так как всего фломастеров N, то общее число совпадений будет N*(N-1)!=N!. N!/N!=1.
Stiver Вероятность m совпадений приблизительно равна e^(-1)/m!, гду e - основание натуральных логарифмов. Отсюда мат.ожидание = 1.
Stiver Вот тебе еще одна такая задачка (из школьной математики): земной шар по экватору плотно обвязывается веревкой, потом в нее вставляется кусок длиной 1 метр. Спрашивается, проскочит ли в образовавшуюся щель мышь? То же самое потом проделай с футбольным мячом.
crypto Как правило, дается несколько вариантов на выбор, что-то вроде "муха, мышь, курица, человек"... :о)
crypto Радиус веревки увеличится на 1/(2*pi) метров. То есть появится щель примерно в 16 сантиметров. Мышь проскочит, футбольный мяч - нет.
Atlantic Обычно имеется в виду, что манипуляцию с веревкой нужно проделать и на футбольном мяче тоже, а не пропускать его в образовавшуюся щель.
crypto ...что, как и в "истории с фломастерами", полностью противоречит всем интуитивным представлениям... :о)
crypto Математически это можно выразить так: есть окружность радиуса R, ее длина L=2*pi*R. Если добавить к ее длине величину L1, то формула примет вид L+L1=2*pi*(R+R1), то есть увеличение радиуса R1=(L+L1-2*pi*R)/(2*pi)=L1/(2*pi) не зависит от начального радиуса. Sergey_R А про футбольный мяч я сразу и не понял - просто впервые встречаю такую задачу.
Atlantic "Контраинтуитивность" этой задачи в том, что интуитивно (без вычислений) человек полагает, что для Земли щель должна получиться ничтожной, а вот для мяча - очень большой.
crypto Признаюсь, в первый момент я тоже так подумал, но через 311 миллисекунд нашел верное решение . И в чем-то интуитивное решение верно - если рассматривать относительное увеличение радиуса, а не абсолютное.
