Преамбула

Потребовалось перевести 1/6 в IEEE 754 single precision. Обычно, перевод перекладываю на плечи компилятора, но, на этот раз, пришлось переводить вручную с использованием Windows-калькулятора из стандартного набора программ

1. 1/6=0,16666666666666666666666666666667
2. 0,16666666666666666666666666666667 > 0 поэтому знак=0
3. вычисляю степень:
   log₂(0,16666666666666666666666666666667) = lg(0,16666666666666666666666666666667)/lg(2) = -2,584962501
   округляю -2,584962501 в меньшую сторону -3
   степень в смещенном виде 127-3 = 124 = 1111100₂
   подгоняю под 8 разрядов 01111100₂
4. вычисляю мантиссу:
   23 разряда -(-3) (степень)=26
   (0,16666666666666666666666666666667-2^-3)× 2²⁶ = 0,04166666666666666666666666666667 × 67108864 = 2796202,6666666666666666666666669 ≈ 2796203 = 1010101010101010101011₂
   подгоняю под 23 разряда 01010101010101010101011₂
5. собираю число:
   знак.степень.мантисса = 0.01111100.01010101010101010101011₂ = 0011.1110.0010.1010.1010.1010.1010.1011₂ = 3E2AAAAB₁₆

И вот тут я обратил внимание на группы повторяющихся 0 и 1.
0.01111100.01010101010101010101011₂

Основная часть

Двоичное представление дробей вида [math]\frac{M}{2^{N}-1}[/math] без вычислений на калькуляторе, возможно, кому-то пригодится
1/3 = 0,33333333333333333333333333333333 = 0,01.01.01.01.01.01.01.01.01.01.01₂
2/3 = 0,66666666666666666666666666666667 = 0,10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10₂
1/6 = 0,16666666666666666666666666666667 = 0,0.01.01.01.01.01.01.01.01.01.01.01₂ = (1/3)/2
1/7 = 0,14285714285714285714285714285714 = 0,001.001.001.001.001.001.001.001₂
2/7 = 0,28571428571428571428571428571429 = 0,010.010.010.010.010.010.010.010₂
3/7 = 0.42857142857142857142857142857143 = 0,011.011.011.011.011.011.011.011₂
4/7 = 0,57142857142857142857142857142857 = 0,100.100.100.100.100.100.100.100₂
5/7 = 0,71428571428571428571428571428571 = 0,101.101.101.101.101.101.101.101₂
6/7 = 0,85714285714285714285714285714286 = 0,110.110.110.110.110.110.110.110₂
1/15 = 0,06666666666666666666666666666667 = 0,0001.0001.0001.0001.0001.0001.0001₂
2/15 = 0,13333333333333333333333333333333 = 0,0010.0010.0010.0010.0010.0010.0010₂
1/5 = 0,2 = 0,0011.0011.0011.0011.0011.0011.0011₂ = 3/15
4/15 = 0,26666666666666666666666666666667 = 0,0100.0100.0100.0100.0100.0100.0100₂
7/31 = 0,22580645161290322580645161290323 = 0,00111.00111.00111.00111.00111.00111₂