Трансцендентные числа

Возьмем линейку, и отметим на ней все целые числа. Теперь отметим на ней все рациональные числа - для этого нам потребуются целые числа. Теперь посмотрим, все-все ли числа (точки) отмечены на линейке? Нет ли дыр? Посмотрим на это не абстрактно, а на наглядном примере. Возьмем квадрат единичной длины, бесконечно-тонкую нить, и отмерим этой нитью длину диагонали квадрата. Приложив один конец этой нити к началу линейки мы увидим, что другой конец этой нити пришелся на точку, которая на линейке еще не отмечена (корень из двух). Значит, на линейке все еще есть дыры, то есть она заполнена не полностью. Не хватает алгебраических чисел.

Отметим на линейке все алгебраические числа. Для этого нам потребуется воспользоваться рациональными числами (построить всевозможные прямоугольники с рациональными сторонами и измерить их диагонали). Посмотрим еще раз, все-все ли числа отмечены на линейке? Нет ли дыр?

Возьмем окружность единичной длины и нашу бесконечно-тонкую нить. Измерим длину половины окружности (для удобства), приложим нить к линейке, и увидим, что второй конец нити опять уткнулся в точку, которая еще не отмечена (пи). Значит, на линейке все еще есть дыры, то есть она заполнена не полностью. Не хватает трансцендентных чисел.

А теперь тормознем.

Что такое окружность? Это множество точек, равноудаленных от одной точки. Пусть это будет единичная окружность с центром в начале координат. Тогда множество этих равноудаленных точек - это множество точек, корень квадратный из суммы квадратов координат которых равен единице. Однако, чтобы построить такую окружность, нужно рассмотреть все-все точки на этой окружности. Включая точки, имеющие трансцендентные координаты.

Получается, что мы показали наличие рациональных чисел через целые, и наличие алгебраических чисел через рациональные. Но для того чтобы показать наличие трансцендентных чисел нам пришлось воспользоваться... трансцендентными числами!

Вопрос №1. Что делать с этим замкнутым кругом? Как показать на наглядном примере существование трансцендентных чисел не постулируя их наличие (полярные координаты) и не используя трансцендентные числа (рекурсия)?

А может быть нет никаких трансцендентных чисел? Что если мы вернемся к нашей окружности, все так же представляющей собой множество точек, равноудаленных от одной точки, но рассмотрим только такое множество точек, которые имеют аглебраические координаты?

Вопрос №2. Будет ли число "пи" у такой окружности трансцендентным или же будет алгебраическим? Чему оно будет равно?

 

Mikl___, ну какие еще комплексные числа, если комплексные числа включают в себя вещественные, которые включают в себя трансцендентные?

https://ru.wikipedia.org/wiki/Рациональное_число

https://ru.wikipedia.org/wiki/Алгебраическое_число

https://ru.wikipedia.org/wiki/Трансцендентное_число

https://ru.wikipedia.org/wiki/Вещественное_число

https://ru.wikipedia.org/wiki/Комплексное_число

 

Mikl___, ну о чем и речь. А ты в своем примере воспользовался и полярными координатами, и трансцендентными числами.

 

Mikl___, ага, скачал, спасибо

 

_DEN_, а нафига тебе ся теор. муть 777 на практике мы не имеем дело с точными числами == любой результат есмь всего лишь аппроксимация с заданным порядком точности.

 

Mikl___, а нельзя ли ткнуть в какую-то страницу? Я думал что это что-то вроде справочника или учебного пособия с внятным содержанием, а оказалось что это какой-то художественно-математический роман. Слово "трансцендентный" встречается всего три раза, и все три раза - на странице 297, на которой ничего не объясняется. А читать всю книгу, сам понимаешь Я такой жанр вообще не люблю - математика должна быть математикой, а не Дарьей Донцовой

 

Тормознуть надо раньше. Ты вообще начал с линейки, на которой все действительные числа уже есть. Иначе откуда ты знаешь, что на линейке остались дыры?

 

https://ru.wikipedia.org/wiki/Дедекиндово_сечение
Множество всех вещественных чисел получается сразу из множества рациональных, как множество дедекиндовых сечений.
Дальше можно выделять в них множество трансцендентных, если охота.

 

А вот и нет Я начал с линейки, на которой находится неизвестное множество точек. А о наличии дыр узнал прикладывая к ней отрезки разной длины.

Спасибо, почитаем

 

Точнее, предполагалось, что линейка непрерывна. Но тогда возникает вопрос о том, что такое непрерывность. С точки зрения матана и множество рациональных чисел непрерывно (ведь любая точка на нем предельна), но легко показать что в нем есть дыры (диагональ квадрата). То есть да, получается что я изначально предположил, что пространство, в котором находится линейка и прочие объекты - непрерывно, и не просто непрерывно, а имеет максимальную заполненность. Ок, небольшой тайм-аут на размышления.

 

CurryHowardIsomorphism, оказалось эту статью я уже читал. Там показано как ввести алгебраические числа. Это я уже видел, и это понятно. А можно пример сечения для трансцендентного?

Mikl___, ага, спасибо

 

CurryHowardIsomorphism, добавлю, что ввод алгебраических через рациональные - это не так интересно, потому что у этих множеств одинаковая мощность. Трансцендентные интересны тем, что именно с них начинается континуальность.

 

https://www.google.com/search?q=pi+dedekind+cut

 

Зорич В. А. «Математический анализ» Часть I Глава II «ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА».

Откуда это множество взялось?

Не знаю, что ты понимаешь под предельной точкой. Если понимать как тут https://ru.wikipedia.org/wiki/Предельная_точка, то не для всякого подмножества рациональных числе есть предельная точка в самом этом множестве. Пусть S — подмножество множества рациональных чисел, состоящее из тех или иных приближений числа √2. Предельной точки для S во множестве рациональных чисел нет.
См. ещё https://ru.wikipedia.org/wiki/Непрерывность_множества_действительных_чисел#Аксиома_непрерывности

 

Ну вот да, то что на вики, то и понимаю. Любая проколотая окрестность непуста.

Э не, про подмножество рациональных чисел я ничего не говорил, я говорил про все множество

Остальное еще почитаю.