Связь математики и программирования. Новейший результат.

Однако ни «абъюнкция» ни «постсекция» в русском интернете не общеприняты. Именно поэтому я использую более известные русскоговорящим термины «инвертированная» «импликация». В программистской и математической символике это достаточно понятно выражается операторами:



Соответственно,

 

Прочитал. Понял, что если я помню курс универской математики, то это совершенно не значит, что я не дебил. Пообещал себе обязательно прочитать чего-нибудь в тему. Понял, что хрен я до этой книги доберусь, у меня и так уже приличный список литературы "на вкурить"...

 

1. Исходя из контекста, i и j это целые числа от 0 до n-1, где n – порядок алгебры Кэли-Диксона, для любого натурального n. Причем, и т.д. Размерность алгебры равна . Размерность таблицы умножения базисных элементов

2. Да, формула для знака очень громоздкая и основана на удвоении таблицы умножения. Т.е. таблица умножения алгебры состоит из четырех (2х2) таблиц умножения алгебры , на которую воздействует некоторый оператор преобразования, который расщепляется на три оператора, вида:

(**)

Вот отсюда и «растут ноги» упоминавшихся выше логических операторов.

Само удвоение таблицы умножения можно представить в виде:



Здесь выражение означает, что все индексы соответствующей таблицы умножения увеличены на n. Кроме того, полагаем, что любой оператор в нулевой степени обозначает тождественный (единичный) оператор E.

С учетом определения (**), получаем

(***)

Объясним действие этих операторов. Таблица умножения разбивается на три непересекающиеся области. Изменение знаков элементов на противоположные в одной области определяется оператором X, в другой – оператором Y и в третьей – Z. Очевидно, что в силу независимости и полноты эти операторы, во-первых, коммутативны, а, во-вторых, произведение двух операторов равно третьему, взятому с обратным знаком. Мы полагаем, что знак минус относиться ко всем элементам таблицы K одновременно. Это объясняет второе равенство в формуле (***).

Осталось определить сами области, на которых действуют соответствующие операторы. Оператор X действует только на первый столбец таблицы K. Второй оператор Y – на первую строчку и диагональные элементы (не затрагивая элемент с индексами (0,0)). Третий оператор Z – на оставшиеся элементы таблицы K.

Чтобы представить наглядно описанный процесс, продемонстрируем таблицу умножения для седенионов:

 

Формула для знака

На основании процедуры удвоения таблицы умножения можно вывести искомую формулу для знака произведения двух базисных элементов чисел алгебры Кэли-Диксона. Имеем

,

где

(****)

Из этой рекурсивной формулы легко получить полную формулу, с учетом того, что по определению .

Для полноты картины, определим оставшиеся величины.











Следовательно,



Здесь % – оператор деления по модулю.

Как мы видим, оператор Z и его степень в формуле знака (****) коммутативен относительно i и j. Оператор Y и его степень некоммутативны, а оператор X некоммутативен, но его степень коммутативна.

Вот, грубо, представлена вся формула умножения. Вполне возможно, что формула знака (****) может быть упрощена.

Кстати, одной из причин, почему не развивались практические вычисления на алгебрах Кэли-Диксона больших размерностей было то, что формулы умножения базисных элементов не были известны. Может быть, с учетом этих исследований процесс немного продвинется .

 

Более эффективней для октав (а именно только для них определена диаграмма Фано) будет непосредственное задание таблицы умножения в виде массива элементов (8х8=64). Наша же формула претендует на универсальность, для таблиц вида . О строгости выкладок можно будет судить только после публикации полной статьи.

 

А философия и никогда не была наукой. Философия это всего лишь форма мировоззрения. А мировоззрение бывает не только неправильным, но и правильным или, по крайней мере, полезным.

Порядок не является определяющим свойством ни алгебры, ни даже поля. Хотя, благодаря порядку, поле действительных чисел является особым, выделенным полем. Что касается потери коммутативности и ассоциативности, то это естественно, любое обобщение всегда происходит за счет чего-то.

Насчет «отсутствует как таковая» Вы явно поторопились с выводом. Очень даже присутствует, также как и деление, за исключением делителей нуля. Формула умножения для алгебр КД(n) определяется самой процедурой удвоения КД. Иначе о чем бы тогда говорили в этой теме?

Есть алгебры размерности 2, где уже появляются делители нуля. Это дуальные (параболические) и двойные (гиперболические) комплексные числа. Обычные комплексные числа – эллиптические.

Чтобы использовать произвольные алгебры, не надо никому ничего объяснять. Важно не делать просто математических ошибок. Типичная ошибка людей с физическим мышлением, что математика, чего-то кому-то должна. Ничего и никому. Математика развивается по собственным законам, а ее приложения в прикладных науках по своим законам.

Ну, так почему же Вы не продемонстрировали? В алгебрах Кэли-Диксона таких элементов нет, а если имеются в виду произведения их некоторых линейных комбинаций, скажем, седениононов, то подобный пример есть в цитированной выше статье Сильвестрова. Однако такие примеры не очень наглядны, на мой взгляд. Ибо непонятно, почему так происходит. В моем примере, для прямого произведения это абсолютно очевидно. Тем более, что, скорее всего, именно алгебры с делителями нуля распадаются в прямые произведения либо изоморфны им. Октонионы и ниже неразложимы, а седенионы и выше очень даже могут быть разложимы в прямые суммы своих подалгебр.

А Вы их определение знаете?

 

Scholium
Во всё вникать мне не досуг (базы не хватит), но к мелочам прицепиться могу.

Как уже не раз было сказано, i и j находятся в диапазоне от 0 до 2ⁿ-1. Седенионы — алгебра 4-го порядка. Базис имеет 2⁴=16 единиц: индексы от 0 до 15.

 

Спасибо за поправку! Все, как Вы говорите. Просто в уме я держу информацию, что порождающих элементов действительно n, а вот порядок алгебры (количество линейно независимых базисных элементов) 2^n-1 (индексы от 0 до 2^n-1-1). Седенионы – алгебра пятого порядка, первого – действительные числа. Но если вести отсчет порядка от нуля, как у Вас, а не от 1, как у меня, то все сходится, только порождающих элементов будет n+1 и первоначальная алгебра будет не A₁, а A₀.