Давно мучает вопрос как решить эту задачу. Она была задана мне несколько лет назад, тогда абитуриенту, на устном вступительном экзамене по математике. На решение было дано 15 мин. Собственно задача: есть произвольный выпуклый 4-х угольник. На каждой стороне 4-х угольника, как на диаметре, построена окружность (т.е. длина стороны явл. диаметром). Вопрос: покроют ли получившиеся 4 окружности 4-х угольник целиком или нет? Естесно обосновать.
Вроде решил)) Значит так, разбиваем 4 угльник на 2 треугольника. И доказываем что любой треугольник можно перекрыть двумя окружностями, от любых двух сторон. Потому что в данном случае нам надо перекрыть только 3ью сторону, а сумма двух сторон всегда больше третьей. Вот собственно и все Имеем два треугольника у которых общая 3ья сторона, которая является диагональю 4ех угольника, и перекрывается двумя окружностями каждого из треугольников). Извиняюсь что так по ламерски все обьяснил)) Вот набросок
15 минут явно много Проводим диагональ и из двух оставшихся вершин опускаем на нее два перпендикуляра.
Если две эти окружности пересекутся на 3й стороне, следовательно они перекрывают весь треугольник. А почему они пересекутся я уже написал. А поподробнее?)) Из каких оставшихся вершин?
Понял. Все гениальное просто Разобьем 4-х угольник на 2 треугольника, выберем один из треугольников. На 2-х сторонах треугольника построены окружности. Опустим перпендикуляр на 3-ю сторону. Точка пересечения перпендикуляра и 3-й стороны является точкой пересечения окружностей, т.к. стороны проходят через центр окружностей и угол между перпендикуляром и 3-й стороной прямой. Тоже самое можно показать, используя теорему синусов.
Не понятно как из этого следует что - "Точка пересечения перпендикуляра и 3-й стороны является точкой пересечения окружностей"? По-моему ещё никто не доказал, что точка пересечения окружностей всегда выше или на гипотенузе. Немного странное следствие.
http://ru.wikipedia.org/wiki/Описанная_окружность "У остроугольного треугольника центр описанной окружности лежит внутри, у тупоугольного — вне треугольника, у прямоугольного — на середине гипотенузы." Т.е. вписанный треугольник, сторона которого проходит через центр окружности, является прямым. http://i006.radikal.ru/0905/02/0d4ed5525658.jpg Пусть на сторонах AB и BC треугольника ABC построены окружности. Пусть D - точка пересечения 1-й окружности и стороны AC, E - точка пересечения 2-й окружности и стороны AC. Тогда углы ADB и CEB прямые, т.е. из точки B на AC опущено 2 разных перпендикуляра. Вобщем косяк, поэтому D и E совпадают.
Booster что неясного? То что у прямоугольного центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы это его св-во, это не надо доказывать потому что это уже давно кем-то доказано.
onSide Мне всё ясно, но это свойство не очевидно и не зная его заранее эту задачу не решить. Эту задачу тоже не имело смыла решать, так как она уже была решена.
