Пиплы, помогие с теорией вероятности... )

Aquila
Не то, чтобы я не верую, но ты пробовал мнение "независимого" эксперта - програмки с rand'ом - просто посчитать что будет на самом деле.

Для двух шаров (из твоего последнего примера) вроде нет смысла ставить на какой-то определенный - ?...

 

PSR1257

Только при первом вытягивании.

 

+1 к Aquila. Если мы вытянули белый шар, то наиболее вероятно, что мы его вытянули из урны с четырьмя белыми. Наименее вероятно, что он был вытянут из урны только с одним белым. Ну и, разумеется, совсем невероятно, что этот шар находился в урне, где белых шаров нет.

 

Вот еще задача на теорию вероятности.

Все значения непрерывной переменной, изменяющейся от 0 до 10, равновероятны. Каково наиболее вероятное (most probable) количество случайным образом выбираемых значений этой переменной, требующееся для получения двух таких значений, которые отличаются более чем на 9?
Is the result the same if the phrase "most probable" is taken literally as if it has the common meaning as applied to errors, as likely as not to be exceeded? Если нет, то каковы будут оба ответа?

 

Ringabell
/me побежал в магазин за водкой

 

...и тишина... хотя форум действительно выбран несколько не тот.
Кстати, этот раздел математики правильно называется теория вероятностей.

Вероятность того, что в задаче из #44 потребуется ровно k попыток (k >= 2), равна (k-1)*9^(k-2)/10^k. Отсюда наиболее вероятное в буквальном смысле число попыток равно 3 (отношение P(k+1)/P(k) меньше единицы при k>=3 - проверяется непосредственной подстановкой), а в среднем придётся сделать 20 попыток (в смысле, матожидание числа попыток \sum_{k=2}^\infty kP(k) = 20 - считается в Maple, обосновывать можно по-разному, например, дважды продифференцировав тождество \sum_{k=0}^\infty x^k/10^k = 1 / (1 - x/10) = 10 / (10 - x) и подставив x=9).
Подсчёт вероятности: обозначим значения величины на i-й попытке через xi; то, что понадобилось ровно k попыток, означает, что либо для какого-то i xk>xi+9 и xj<=xi+9 при j<k, либо для какого-то i xk<xi-9 и xj>=xi-9 при j<k. Из соображений симметрии вероятности этих событий совпадают и достаточно посчитать первую и умножить на 2 (поскольку эти два события не пересекаются). Разобьём пространство интересующих нас событий на k-1 часть в зависимости от того, какой из xi минимальный (величина непрерывная, так что совпадение происходит с вероятностью 0 и вероятность объединения равна сумме вероятностей); из соображений симметрии вероятности всех долей пространства совпадают и достаточно посчитать первую и умножить на k-1. Первая доля пространства заключается в условиях x1<=x2<=x1+9, ..., x1<=x(k-1)<=x1+9, x1+9<xk. Условия независимы, так что вероятность выполнения всех равна произведению вероятностей; первые k-2 условий выполняются с вероятностью 9/10 каждое при любом x1, оставшееся - с вероятностью 1/200 (можно расписать по определению через интегралы, можно геометрически: (x1,xk) пробегают все точки квадрата 10*10 с равной вероятностью, интересующее нас множество - это треугольник площади 1/2 в квадрате площади 100, так что вероятность равна 1/200). Перемножая, получаем выписанную в начале формулу для P(k).

 

#44

Для того, чтобы полученное значение принадлежало паре, элементы которой различаются более чем на 9, нужно, чтобы значение было < 1 или > 9. Вероятность этого 1/5. Вероятность того, что из n значений ровно m будут такими, C^n (1/5)^m (4/5)^(n-m). Вероятность того, что из этих m значений ровно k будут в нижнем интервале (0, 1), C_{k^m} (1/2)^m. Если мы упорядочим полученные значения по возрастанию разницы между каждым из них и минимально возможным, от 0 до 9, все порядки равновероятны, т.к. все позиции этих значений в интервале равновероятны. При этом упорядочивании, если никакие два значения не различаются более чем на 9, все значения из верхнего интервала будут предшествовать нижним, вероятность этого k!(m-k)!/m! Вероятность того, что хотя бы одна пара будет различаться более чем на 9, 1-[k!(m-k)!/m!] для любых данных значений m и k. Для исходного списка n значений эта вероятность, таким образом,

\sum^n_{m = 2} \sum^{m - 1}_{k = 1} C^n_{m} (1/5)^m (4/5)^{n-m} C_{k^m} (1-[k!(m-k)!/m!]) = \sum^n_{m = 2} C^n_{m} (1/10)^m (4/5)^(n-m) [2^m - 1 - m] = <тут вычисления поскипаны> = 1 - ((n + 9)/10)*((9/10)^(n-1)) = f(n),

Есди f(n) = 1/2, мы получаем значение в том смысле, что оно, вероятно, не будет превышено. Подстановками мы находим, что f(16) = 0.4853 и f(17) = 0.5183. Таким образом, при выборе 17 значений наиболее вероятно, что два из них будут различаться более чем на 9. В буквальном смысле значение будет другим,

g(n) = f(n) - f(n - 1) = ((n - 1)/100)*((9/10)^(n - 2)),

Это вероятность того, что n-ое значение отличается более чем на 9 от одного или более от предыдущих n -1 значений, но из n - 1 значений ни одно не отличается от любого другого более чем на 9, т.е. n-ая попытка - первая удачная. g(n) возрастает, пока g(n + 1) > g(n), т.е.

(n/100)*((9/10)^(n - 1)) > ((n - 1)/100)*((9/10)^(n - 2)), или n < 10. Т.о. g(10) = g(11), следовательно, в буквальном смысле ответ 10 и 11.

 

С "теорией вероятностей" vs "теория вероятности" тоже можно поспорить. Почему тогда говорят не "теория полей", а "теория поля"? "Теория относительности", а не "теория относительностей"? Потому что поле, относительность, как и вероятность - базовые понятия для дисциплин, которые посвящены их изучению. Таким образом, поскольку теория вероятности посвящена изучению понятия вероятности, то правильнее будет "теория вероятности". Нормы варьируются от института к институту, гуглом можно найти, что в МИЭТ снижали оценку за "теорию вероятностей", а в ЛГУ, напротив, правильным считают название "теория вероятностей".

 

Формулы для вероятностей мы с Вами получили одинаковые (g(n) = P(n), а f(n) - это сумма P(k) по k<=n), хоть и разными способами, а вот дальнейшая интерпретация у нас разная.
Насчёт "наиболее вероятного в буквальном смысле" - согласен, меня проглючило, действительно вероятность достигает максимума не при n=3, а при n=10 и n=11.
А вот насчёт "Есди f(n) = 1/2, мы получаем значение в том смысле, что оно, вероятно, не будет превышено." не согласен: оно не будет превышено с вероятностью 1/2, то есть, весьма вероятно, что будет. Почему берётся порог 1/2, а не, скажем, 1/e? А если взять n такое, что f(n) = 99%, то становится ещё более вероятно, что n не будет превышено, хотя всё равно остаётся ненулевая вероятность того, что всё-таки не повезёт. Так что "при выборе 17 значений наиболее вероятно, что два из них будут различаться более чем на 9." - просто неверное утверждение (если взять больше значений, вероятность строго повысится).

Насчёт наименования дисциплины - я понял такую точку зрения, действительно можно поспорить, но, кажется, принято всё-таки "теория вероятностей". В соответствующем курсе на мехмате МГУ это специально в начале подчеркнули, поэтому мне это глаз немного и режет Насчёт распространённости - на русской Википедии статья "Теория вероятности" перенаправляет на "Теорию вероятностей" (что само по себе ничего не доказывает), и там есть куча ссылок на литературу (печатные издания), и нигде не встречается первое написание, хотя во многих названиях есть второе.