Пиплы, помогие с теорией вероятности... )

нет, формулой байса тут и не пахнет. Скорее уж формула полной вероятности. Но задачка реально мозг сводит

 

Интересно. А разве не нужно переоценить вероятность гипотез о количестве шаров в урне? Равновероятны-то они только в первое вытягивание. А после того, как мы вытянули первый шар, у нас они, по идее, должны измениться.

 

Вообще, вероятность - это отношение успешного количества экспериментов к общему их количеству. Если не известно количество успехных опытов (т.е. белых шаров), то как можно решить задачу? (у кого-нибудь в зале есть водка? )

 

Да изменились было 5 гипотез стало 4, а равномерность осталось.
Вероятность выбора гипотезы было 1/5 стало 1/4.

Так мы делаем гипотизу о числе белых шаров(удачных эксперементов). Всего у нас шаров 3. Потом сумируем вероятности. Получаем полную вероятность.

 

Дело в том, что если мы поступим по твоему предложению, то получится, что мы просто отбросили гипотезу о нулевом количестве шаров, а всем остальным в силу каких-то причин просто назначили по 1/4. Вчера в итоге я построил два решения - одно по Байесу, которое дает правильный ответ и которое, по-видимому, хотели видеть авторы учебника , и второе, которое также дает правильный ответ и позволяет увидеть почему же это происходит.

Решение по Байесу

Поскольку количество шаров нам неизвестно, мы выдвигаем пять гипотез о количестве шаров:

H0 - ноль белых шаров в урне (шанс вытянуть белый шар 0)
H1 - один белых шаров в урне (шанс вытянуть белый шар 1/4)
...
H4 - четыре белых шара в урне (шанс вытянуть белый шар 4/4 или 1)

Поскольку в начале у нас нет предпочтений относительно любой из гипотез, их вероятность равна 1/5.

Если мы посчитаем по формуле полной вероятности вероятность появления белого шара, то она, как и следовала ожидать, составит 1/2.

1/5*0 + 1/5*1/4 + 1/5*2/4 + 1/5*3/4 + 1/5*1 = 1/2

Теперь вытягиваем шар, который оказывается белым. Очевидно, что вероятности наших гипотез изменились, таким образом H0 (что белых шаров не было) равняется нулю. Пересчитываем по формуле Байеса:

P(Hi|A) = P(Hi)*P(A|Hi) / Сумма( P(Hi)*P(A|Hi)

Сумму мы уже посчитали выше, она равна 1/2.

P(H0|A) = 1/5 * 0 / 1/2 = 0
P(H1|A) = 1/5 * 1/4 / 1/2 = 1/10
P(H2|A) = 1/5 * 2/4 / 1/2 = 1/5
P(H3|A) = 1/5 * 3/4 / 1/2 = 3/10
P(H4|A) = 1/5 * 1 / 1/2 = 2/5

Количество шаров в урне изменилось, поэтому вероятность вытянуть белый шар также стали другими:

H0 - 0, H1 - 0 (вынули единственный белый шар), H2 - 1/3, H3 - 2/3 H4 - 1

Зная новые вероятности наших гипотез, считаем вероятность появления белого шара:

0*0 + 1/10*0 + 1/5*1/3 + 3/10*2/3 + 2/5*1 = 2/3

Альтернативное решение

Решение по Байесу оказалось не слишком интуитивно понятным для многих (включая меня ). Т.е. по расчетам все выходит правильно, но было ощущение того, что где-то Байес нас прокидывает. Нашлись и такие, кто утверждал, что формулы Байес здесь неприменимы. Тогда после напряженных размышлений был поставлен мысленный эксперимент.

Возьмем не одну, а сто урн, заполненный по заданным правилам - 4 шара, от 0 до 4 могут быть белыми, распределение равномерное. Т.е. по 20 урн для каждого из варианта.

Теперь возьмем из каждой по шару и отбросим все урны, где выпал небелый шар (ведь по условию задачи мы рассматриваем вероятность тлько для варианта, когда первым вышел белый шар). Очевидно, что прежде равномерное распределение урн сильно изменится, например отпадут все урны, где не было белых шаров, уйдет большая часть с 1 белым шаром (в 3/4 случаев для такой урны будет вылезать черный шар). С другой стороны, останутся все, где были только белые шары и почти все, где было 3 шара (белый шар будет вылезать первым с вероятностью 3/4).

Считаем:

0б - было 20 урн - осталось 0
1б - было 20 урн - осталось 5
2б - было 20 урн - осталось 10
3б - было 20 урн - осталось 15
4б - было 20 урн - осталось 20

Заметим, что урн осталось в два раза меньше, как и следовало ожидать, но распределение их уже неравномерное.

Вероятность вытянуть белый шар в первый раз:

(20*0 + 20*1/4 + 20*1/2 + 20*3/4 + 20*1) / 100 = 1/2

Вытянули белый шар, считаем вероятность вытянуть второй белый шар по оставшимся урнам (помним, что в урнах на 1 белый шар меньше):

(5*0 + 10*1/3 + 15*2/3 + 20*1) / 50 = 2/3

 

Aquila
Не верно. Ты решил другую задачу: Какова вероятность вытащить два белых шара подряд.
А у нас первое событие то что мы вытащили первым шар не случайно. оно нам достоверно известно потому что уже произошло и его в рассчет надо включать иначе.

Если бы мы делали предположение что первый шар окажется белым, то да там было бы твое решение. Но так как тут нет предположения. Тут факт и имеет 100% вероятность быть.
Нехватает двух частичек. Или даже одной. "Если взятый наудачу из урны шар оказался бы белым".
Тоогда бы был твой случий.

 

Для того чтобы его понять надо не полениться и расписать на естественном языке то что записано формулами.

 

Сначала подумал, что события независимы, а потому теорема Байеса не применяется. Но в расчеты вкралась ошибка, обнаруженная после перепроверки *посыпает голову пеплом*. Решение Aquila правильное, события зависимы, и вероятность появления второй раз белого шара 2/3. Далее идет обоснование, почему события зависимы.

Событие A - белый шар появляется второй раз;
Событие B - белый шар появляется первый раз, вероятность 1/2;
N_A - количество исходов, благоприятствующих событию A;
N_B - количество исходов, благоприятствующих событию B;
N_AB - количество исходов, благоприятствующих и событию A, и событию B;

O O O O - четыре белых шара, вероятность исхода 1/5;
O O O @ - три белых шара, вероятность исхода 1/5;
O O @ @ - два белых шара, вероятность исхода 1/5;
O @ @ @ - один белый шар, вероятность исхода 1/5;
@ @ @ @ - ноль белых шаров, вероятность исхода 1/5;

N = 5;
N_A = 3;
N_B = 4;
N_AB = 3 = N_A;
все исходы N_B равновероятны;

P(A|B) = (условная вероятность события A при условии события B) = N_AB/N_B = 3/4;

P(A|B) = (N_AB/N)/(N_B/N) = (3/5)/(4/5) = P(AB)/P(B) = P(AB)/(1/2) = 3/4;
=> P(AB) = 3/8;

События A и B, имеющие ненулевую вероятность, являются независимыми тогда и только тогда, когда P(AB) = P(A)P(B);
Мы уже нашли P(AB), и она равняется 3/8, P(B) известна и равняется 1/2, остается найти безусловную вероятность события A.
P(A) = (1/4)*0 + (1/4)*(1/3) + (1/4)*(2/3) + (1/4)*(3/3) = 1/2.
P(A)P(B) = (1/2)*(1/2) = 1/4, что не равняется 3/8. Таким образом, события A и B являются зависимыми, применение теоремы Байеса оправдано.

 

Ringabell Да решение правильное, но это две разных задачи.

Условие нас ставит перед фактом, что шар выпал. А у фактов нет вероятности - это неслучайное событие. Для мат рассчетов принимают вероятность равную 100%=1.

 

---

 

Если взятый наудачу из урны шар оказался бы белым == взятый наудачу шар оказался белым. Слово "наудачу" само по себе подразумевает, что можно было и белый взять и не белый. Содержимое корзины также было сформировано до вытягивания первого шара. Также нужно учитывать, что гипотезы о количестве шаров были выдвинуты до взятия первого шара, никто не давал нам права на самовольное выдвижение новых . Боюсь, если мы так будем делать, то байесовский спам-фильтр никогда не заработает.

К тому же альтернативное решение, которое соответствует исходному условию, но основывается на повторении эксперимента 100 раз, подтверждает результат, полученный на основе Байеса.

 

сори за оффтоп но какова вероятность выбора айфона вместо предложенного?

 

Aquila
Ты путаешь повествовательное и будущее времена.

 

Ня?

Повторюсь. Если мы возьмем 100 урн вместо одной и применим к каждой из них одни и те же условия: сформируем каждую из них согласно условию, затем начнем тянуть по шару из каждой, отбрасывая те, которые не соответствуют условию, гласящему, что в первый раз мы вытянули белый шар, то после этого у нас останется 50 урн, в которых суммарное (т.е. если вынем все шары из урн и посчитаем) соотношение белых шаров к небелым изменилось с 1/2 до 2/3.

 

Да можно. Но взяли то белый, а это факт. На будущее время ссылается глакол "быть" или частица "бы". А такая отсутствует.

Слово гипотеза по русски предположение, а предпологать мы можем что угодно. Дает нам право факт. Который говоит что шар белый. Значит предположении о равномерности не может выполняться, так как там точно не все шары черные.

 

Хорошо, вот тебе та же задача, оформленная в виде почти жизненной ситуации . Ты участвуешь в шоу, тебе дали урну. В ней четыре шара, где от нуля до 4 может быть белых (с равной вероятностью), остальные черные. Ты вытягиваешь шар, он оказывается белым. Это свершившийся факт, не вопрос. Дальше тебе говорят: "Если ты угадаешь цвет следующего шара, то получишь 10000 рублей". На какой цвет стоит поставить, исходя из теории вероятности?

 

Да события зависымые и там будет по Баессу.
Все понял.

 

2 Pavia:

Добавим пикантности в данную ситуацию ))

В Реальности все события являются взаимозависимыми между собой.
Не хотели бы пересчитать Ваши решения применительно к реальным условиям (к условиям не математической реальнсти, а "обычной") ?

))

 

Пусть из 4х шаров: n белых,4 - n черных.Взяли белый,стало n-1 белых,4-n черных.Вероятность взять белыйn-1)/3,черный: (4-n)/3.Зависит от начального количества белых шаров.Если n = 1,2 то надо ставить на черный если n = 3,4 на белый.Так как вариантов количеств для черного и белого шара одинаковы (равновероятно белых могут быть 1,2,3,4) то нет разницы на какой ставить.

 

KingT
См. правильное решение: http://www.wasm.ru/forum/viewtopic.php?pid=306924#p306924