diamond Конечно неверно. Я и пытаюсь сейчас подобрать формализм. В порядке бреда Будем записывать комплексные числа в полярной форме (r, \phi), где угол _не_ ограничен промежутком от 0 до 2\Pi. То есть например числа 1 как такового у нас нет, есть (1, 0), (1, 2*\Pi) и так далее. Интервал [2*k*\Pi, 2*k*\Pi + 2*\Pi) назовем витком. Теперь можно ввести например для тригонометрических функций свойство "сохранения витка". Например для a=\phi+2*m*\Pi, где \phi из интервала [0, 2*\Pi), а m какое-то неотрицательное целое число cos(a) = cos(\phi+2*m*\Pi) = (cos(\phi), 2*m*\Pi) Тогда и пример сверху получится e^{2*\Pi+4*k*\Pi} = cos(2*\Pi+4*k*\Pi) = (1, 2*\Pi+4*k*\Pi) и в степени 1/2 даст нам снова (1, \Pi+2*k*\Pi), то есть -1. Вот как-то так наверное.. Тут конечно еще пахать и пахать, но смертельных препятствий к работе с множествами пока не вижу. Denis__ Тебя семилапки ждут )
Дополню, чтобы не возникало претензий на "e^x": если основание степени - вещественное положительное число, то во множестве значений общей комплексной степени a^b есть одно выделенное значение, и именно его обычно понимают под степенью вещественного положительного числа - a^b = exp(b*ln(a)), а логарифм для вещественных чисел имеет вполне конкретное значение, выделяющееся из остальных комплексных тем, что оно само по себе вещественное. (Кстати, функция exp на C определяется рядом exp(z) = 1+z+z^2/2!+z^3/3!+z^4/4!+... - без отсылки к возведению в сложные степени). И если выделять это значение, то свойства степени сохраняются даже для комплексных показателей (повторюсь, только для вещественных положительных оснований; для отрицательных оснований в общем случае нельзя выделить одно значение так, чтобы всегда было выполнено (a^b)^c = a^(b*c)).
Это имеет право на существование. Только там, кажется, возникнут проблемы с сопоставлением получаемых объектов с обычными комплексными числами - число 1 соответствует множеству ..., (1,0), (1,2\Pi), ..., а промежуточный объект - это множество ..., (1,-2\Pi), (1,2\Pi), ... и никакому числу не соответствует.
Дабы не смущать господ, которым в СНГ посчастливилось получить хорошее образование, уточняю свой вопрос, поскольку я наконец-таки сам понял, что же меня интересует)) Рассмотрим нашу "многозначную" функцию возведения в степень. Среди результатов функции как могут быть вещественные значения, так могут и не быть. Ограничимся рассмотрением возведения отрицательного числа в рациональную степень. Очевидно, что среди результатов будет вещественное значение в одном из двух случаев - 1) возводили в целую степень, 2) возводили в степень, имеющую нечетный знаминатель, если ее представить в виде рациональной дроби. Приближая рациональными числами степень к иррациональному числу мы будем получать как четные знаменатели, так и нечетные. Т.е. по мере приближения наличие вещественного значения будет как бы "мигать". Однако, интуиция мне подсказывает, что (-1), будучи возведенным в любую иррациональную степень, среди своих значений никогда не будет иметь вещественного значения. Так ли это, а если так - то почему?
diamond Да, или ничему не соответствует, или просто другую форму записи надо придумать - которая бы учитывала "витки".
_DEN_ Это так. Дело в следующем. Когда мы возводим -1 в рациональную степень, мы получаем целое множество значений (причём упорядоченное). Например, мы приближаем показатель степени рациональными числами со знаменателями 3,9,27,81,243,... Во всех случаях в множестве значений будет получаться вещественное число. Но стоять оно будет всё дальше и дальше от начала - условно говоря, на первом месте в множестве из 3 значений, на втором в множестве из 9 значений, на третьем в множестве из 27 значений и т.д. Соответственно при лучших и лучших приближениях с растущими знаменателями первые элементы множеств образуют последовательность, которая куда-то сходится, вторые элементы образуют последовательность, которая куда-то сходится, и так далее. Но ни одна из этих последовательностей не сходится к вещественному числу - чисто вещественное число встретилось один раз в первой последовательности, один раз во второй, но на предел не повлияло. Stiver Конструкция абсолютно законна - "расклеивание" точки z в набор точек (r,\phi) фактически даёт риманову поверхность для логарифма, и на ней удобно работать с функциями z^a. Но там нет естественного закона сложения - чему равно (2,0) + (1,2\Pi)?
_DEN_ Вообще-то справочник Выгодского относится к "классическим" и потому если он пишет, что можно принять формулу Муавра выводимую для показателей степени в виде целых чисел в качестве определения для показателей степени в виде действительных чисел и при этом все математические действия со степенями остаются теми же, что при действительном основании, значит формулы типа (exp(i*pi))^pi = exp(i*pi^2) всё таки относительно широко применяются - преподаются в вузах, заложены в МатЛабе и т.п., несмотря на то что именно из этого подхода следует многозначность решения для рационального показателя степени... Так что если нужно обосновать результат - ссылайся на Матлаб и Выгодского.... А если хочется заняться поиском истины, то бось она может оказаться не только за пределами современного высшего образования, а и за пределами современных математических представлений...
Ну что Вы так категорично! Достаточно вспомнить об Эйлере. Думаю, интуиция тебя не обманывает. Так как (-1)^s тождественна exp(i*pi*s) [с точностью до "поворачивающего" множителя exp(±i*2*pi), называемого некоторыми "витком"], то: (-1)^s = exp(i*pi*s) = cos(pi*s)+i*sin(pi*s), мнимая часть обратится в ноль, когда s=0 или s=целое.
Вот оно- прислушайтесь к голосу Истины, друзья мои Математика- абсолютно абстрактная наука, в которой полно теоретических натяжек, произвольных и недоказуемых положений (гипотез) и т.д. Например, что множество рациональных и иррациональных чисел НЕПРЕРЫВНО заполняют числовую ось, и что никаких других чисел (кроме рациональных и иррац-ых) в природе не существует (точнее не существует на множестве действительных чисел). Особенно интересно понаблюдать как теоретики считают определенные интегралы с конечными пределами, там столько веселухи ))) Но это отдельная тема....
"Витки" нужно учитывать т.е. не просто pi*s, а (pi+2*pi*k)*s=pi*(1+2*k)*s, откуда получается, что целым должно быть (1+2*k)*s, где k - любое целое. Поэтому s должно быть либо целым, либо рациональным с нечетным знаменателем
_DEN_ Помедитировав вспомнил, что в Универе так и объясняли - Вообще-то возведение комплексного числа в действительную степень задача нетривиальная (почему понял только сейчас , но если взять формулу Муавра в качестве определения операции возведения в степень, то все правила действий со степенями переносятся из действитеьных в комплексные без изменений и все будут довольны ... Значит, получается что результат множественный, но на практике используется только частный случай (введённый по определению). Поэтому если "играть по правилам", то результат однозначно комплексный (см #37). А если разложить всё по полочкам, то получается: 1. Эффект существования двух действительных значений для корней четной степени и одного действительного значения для корней нечетной степени известен столько же сколько известны сами корни... и никого не удивляет. 2. Эффект существования нескольких комплексных корней при возведении в рациональную степень легко проверяется обратной операцией к взятию корня - то бишь перемножением соответсвующее число раз. 3. Работать с иррациональными числами мы можем лишь приближённо и тогда из 2 -> что "бесконечно длинное рациональное число" должно давать бесконечное количество результатов при использовании его в качестве показателя степени, и все эти результаты лежат на окружности с центром 0+i*0 и радиусом определяемым по правилам действительного возведения в степень (независимо от того возводится в иррациональную степень положительное или отрицательное число . 4. Вопрос будет ли в точке пересечения этой окружности с действительной осью "точное попадание" решения на действительную ось нас строго говоря волновать не должен, поскольку результат полюбому приблизительный, а значит раз мы согласны что 3,1415926535897932384626433832795 это приблизительно Pi, то нас вполне должно устроить и то что число типа 25 + i*0.0000.....01 тоже приблизительно 25. Современная наука не может найти применения этому потрясающему свойству комплексных чисел, поэтому и пошла на вполне изящный компромис - взять часный случай для которого действуют правила, привычные нам в области действительных чисел. Когда нибудь всё встанет на свои места - явления природы соответсвующие этому эффекту комплексных чисел найдутся, тогда современные правила возведения в степень займут достойное место частного случая для вырожденного решения. 4apa - Вот за что я не люблю кошек! - Ты просто не умеешь их готовить! © реклама не помню чего
Y_Mur думаю, правильней говорить не о комплексных, а о многомерных числах, ибо на комплексных свет клином не сошёлся.
UbIvItS Нет, именно с комплексными все в порядке. Те же кватернионы уже не образуют поле, а вот поле комплексных чисел - практически идеальный математический объект.
Почему никто не удосуживается проверить свои "предположения"? Предположим, s=2/3 или s=-5/7 - рациональные числа с нечётным знаменателем. Подставляя в приведённую мною формулу (или проверяя в MatLab'е) получаем: (-1)^(2/3) = cos(pi*2/3) + i*sin(pi*2/3) = -0.5000 + i*0.8660 (-1)^(-5/7) = cos(pi*5/7) - i*sin(pi*5/7) = -0.6235 - i*0.7818 Разве это не комплексные числа?! P.S. Это всё придумано до нас! Лет эдак 250 назад. Одним служащим Российской академии наук швейцарского происхождения. P.P.S. Чувствуется, что у людей позади "университеты", однако системы знаний почему-то нет :-(
