синус угла, некратного трём

Тема в разделе "WASM.A&O", создана пользователем 10110111, 3 дек 2007.

  1. 10110111

    10110111 New Member

    Публикаций:
    0
    Регистрация:
    13 июл 2006
    Сообщения:
    319
    Адрес:
    Санкт-Петербург
    Как можно найти (выразить в нетригонометрических функциях) синус угла, некратного трём? Для кратных я уже составил целую таблицу. А вот с некратными никак не получается. Например, для 10 градусов получил уравнение:
    8s^3-6s+1=0
    Такое уравнение при решении возвращает к косинусам.
    Какие способы нахождения я ни пробовал, всё приводит к этому.
     
  2. wasm_test

    wasm_test wasm test user

    Публикаций:
    0
    Регистрация:
    24 ноя 2006
    Сообщения:
    5.582
    тебе нужно точно найти в алгебраической форме или тебе достаточно будет приближенного значения? если последнее, тогда можно в ряд разложить
     
  3. 10110111

    10110111 New Member

    Публикаций:
    0
    Регистрация:
    13 июл 2006
    Сообщения:
    319
    Адрес:
    Санкт-Петербург
    Надо точно в алгебраической форме, и чтобы результат можно было получить через вещественные вычисления (не выходя в комплексные числа), т.е. формула Эйлера здесь не вариант.
     
  4. halyavin

    halyavin New Member

    Публикаций:
    0
    Регистрация:
    13 май 2005
    Сообщения:
    252
    Адрес:
    Russia
    А чем это комплексные числа хуже? Методы вычисления корней n-ой степени все равно по своей природе численные. А в чисто действительных числах они скорее всего не выражаются (если в формуле Кардано комплексные числа возникли).
     
  5. 10110111

    10110111 New Member

    Публикаций:
    0
    Регистрация:
    13 июл 2006
    Сообщения:
    319
    Адрес:
    Санкт-Петербург
    Тем, что для многих вычислений с ними приходится использовать опять же тригонометрическое представление, в том числе и в данном случае, то есть мы зациклимся.
     
  6. Stiver

    Stiver Партизан дзена

    Публикаций:
    0
    Регистрация:
    18 дек 2004
    Сообщения:
    812
    Адрес:
    Germany
    Если имеется в виду "найти алгебраическое выражение для синуса какого-либо целого и не делящегося на 3 аргумента (в градусах)", то это невозможно.
     
  7. halyavin

    halyavin New Member

    Публикаций:
    0
    Регистрация:
    13 май 2005
    Сообщения:
    252
    Адрес:
    Russia
    Корень n-ой степени комплексного числа можно посчитать методом Ньютона. Нужно только аккуратно выбрать первое приближение. Также, можно методом Ньютона сразу считать корень кубического уравнения.
    К тому же, зачем тебе считать по этим формулам? Комп посчитает sin на много точнее по рядам Тейлора. А если тебе нужно для математики - так в математике научились работать с комплексными числами не хуже, чем с действительными.
     
  8. Vov4ick

    Vov4ick Владимир

    Публикаций:
    0
    Регистрация:
    8 окт 2006
    Сообщения:
    581
    Адрес:
    МО
    А почему нельзя составить таблицу для всех необходимых углов?
     
  9. Novi4ek

    Novi4ek New Member

    Публикаций:
    0
    Регистрация:
    3 авг 2007
    Сообщения:
    317
    Код (Text):
    1.           ∞
    2. sin(x) = ∑((-1)^(k-1))*x^(2k-1)/((2k-1)!)
    3.          k=1
     
  10. 10110111

    10110111 New Member

    Публикаций:
    0
    Регистрация:
    13 июл 2006
    Сообщения:
    319
    Адрес:
    Санкт-Петербург
    Stiver
    А можно узнать, почему? Какие-нить урлосы,etc...
     
  11. 10110111

    10110111 New Member

    Публикаций:
    0
    Регистрация:
    13 июл 2006
    Сообщения:
    319
    Адрес:
    Санкт-Петербург
    Ты меня спрашиваешь, или Stiver'а? ;)
    Мне просто интересно составить таблицу представлений через другие функции значений синуса с шагом в один градус, при этом не использовать всякие бесконечные/приблизительные способы типа разложения в ряд, или узнать, почему это невозможно.
     
  12. Novi4ek

    Novi4ek New Member

    Публикаций:
    0
    Регистрация:
    3 авг 2007
    Сообщения:
    317
    Хм, с "шагом в один градус" это и есть "приблизительный способ", можно интерполировать полиномом на периоде (на самом деле можно даже не на периоде) просто, решив систему уравнений линейных алгебраических, где неизвестные - коэффициенты при переменных полинома, потом переменную, подаваемую на функцию нужно будет брать по модулю 2 пи.
     
  13. 10110111

    10110111 New Member

    Публикаций:
    0
    Регистрация:
    13 июл 2006
    Сообщения:
    319
    Адрес:
    Санкт-Петербург
    Я имел ввиду аргумент с шагом в один градус - sin(1deg),sin(2deg),etc.
     
  14. Vov4ick

    Vov4ick Владимир

    Публикаций:
    0
    Регистрация:
    8 окт 2006
    Сообщения:
    581
    Адрес:
    МО
    Так сделайте таблицу с шагом в 1 градус. Таблица - самый быстрый способ и последующие преобразования его заметно замедляют. Если скорость не нужна, то в лоб, сопроцессором.
     
  15. 10110111

    10110111 New Member

    Публикаций:
    0
    Регистрация:
    13 июл 2006
    Сообщения:
    319
    Адрес:
    Санкт-Петербург
    Вот то, что я получил (в аттаче). Мне хочется добавить углы, некратные трём градусам, или получить ответ (доказательство), почему это невозможно.
     
  16. Daniil

    Daniil New Member

    Публикаций:
    0
    Регистрация:
    16 авг 2004
    Сообщения:
    12
    Адрес:
    Russia
    http://ru.wikipedia.org/wiki/Синус
    Там есть несколько интересных формул.


    А вообще, я всегда думал, что зная синус одного градуса и косинус одного градуса, можно найти синус и косинус любого другого (целого) угла, используя формулы синус суммы и косинус суммы.


    А если есть косинусы/синусы для степеней двойки, то процес получается ещё и шустрее.
     
  17. Spiteful

    Spiteful New Member

    Публикаций:
    0
    Регистрация:
    24 янв 2004
    Сообщения:
    33
    10110111
    да можно и не кратно углу:
    [​IMG]
    откуда можно например посчитать
    [​IMG]
    и вообще любой кратности добиться - вопрос в целесообразности(и может уползти в комплексы) ;)
     
  18. diamond

    diamond New Member

    Публикаций:
    0
    Регистрация:
    21 май 2004
    Сообщения:
    507
    Адрес:
    Russia
    Это невозможно. Для строгого доказательства нужна теория Галуа. Идея следующая. Возьмём тот же синус 10 градусов, для которого есть уравнение sin (3x) = 1/2, где sin (3x) выражается через sin(x) и получается уравнение 8s^3-6s+1=0. Это уравнение имеет 3 различных вещественных корня: синусы 10, 50, 250 градусов. И с точки зрения алгебраических операций над рациональными числами их различить невозможно. Но для выражений с корнями из вещественных чисел, у которых рассматриваются только вещественные значения, разнообразие вносят только корни чётной степени, и это разнообразие каждый раз даёт только 2 значения, так что 3 корня получить не удастся.
     
  19. Spiteful

    Spiteful New Member

    Публикаций:
    0
    Регистрация:
    24 янв 2004
    Сообщения:
    33
    Небольшой пример к посту diamond'а
    например выражая cos(x) через cos(3x) получим уравнение вида:
    [​IMG]
    если принять cos 3x за константу a и решить это кубическое уравнение, получим 3 корня, два из которых комплексные. Действительный корень имеет вид:
    [​IMG]
    Который сам станет комплексным почти при любом a.
     
  20. Stiver

    Stiver Партизан дзена

    Публикаций:
    0
    Регистрация:
    18 дек 2004
    Сообщения:
    812
    Адрес:
    Germany
    10110111
    Подобное выражение существует только для тех углов, которые могут быть построены с помощью линейки и циркуля. В целочисленном градусном выражении все эти углы делятся на 3. За доказательством придется, боюсь, лезть довольно глубоко в алгебру и теорию групп/полей..