Как можно найти (выразить в нетригонометрических функциях) синус угла, некратного трём? Для кратных я уже составил целую таблицу. А вот с некратными никак не получается. Например, для 10 градусов получил уравнение: 8s^3-6s+1=0 Такое уравнение при решении возвращает к косинусам. Какие способы нахождения я ни пробовал, всё приводит к этому.
тебе нужно точно найти в алгебраической форме или тебе достаточно будет приближенного значения? если последнее, тогда можно в ряд разложить
Надо точно в алгебраической форме, и чтобы результат можно было получить через вещественные вычисления (не выходя в комплексные числа), т.е. формула Эйлера здесь не вариант.
А чем это комплексные числа хуже? Методы вычисления корней n-ой степени все равно по своей природе численные. А в чисто действительных числах они скорее всего не выражаются (если в формуле Кардано комплексные числа возникли).
Тем, что для многих вычислений с ними приходится использовать опять же тригонометрическое представление, в том числе и в данном случае, то есть мы зациклимся.
Если имеется в виду "найти алгебраическое выражение для синуса какого-либо целого и не делящегося на 3 аргумента (в градусах)", то это невозможно.
Корень n-ой степени комплексного числа можно посчитать методом Ньютона. Нужно только аккуратно выбрать первое приближение. Также, можно методом Ньютона сразу считать корень кубического уравнения. К тому же, зачем тебе считать по этим формулам? Комп посчитает sin на много точнее по рядам Тейлора. А если тебе нужно для математики - так в математике научились работать с комплексными числами не хуже, чем с действительными.
Ты меня спрашиваешь, или Stiver'а? Мне просто интересно составить таблицу представлений через другие функции значений синуса с шагом в один градус, при этом не использовать всякие бесконечные/приблизительные способы типа разложения в ряд, или узнать, почему это невозможно.
Хм, с "шагом в один градус" это и есть "приблизительный способ", можно интерполировать полиномом на периоде (на самом деле можно даже не на периоде) просто, решив систему уравнений линейных алгебраических, где неизвестные - коэффициенты при переменных полинома, потом переменную, подаваемую на функцию нужно будет брать по модулю 2 пи.
Так сделайте таблицу с шагом в 1 градус. Таблица - самый быстрый способ и последующие преобразования его заметно замедляют. Если скорость не нужна, то в лоб, сопроцессором.
Вот то, что я получил (в аттаче). Мне хочется добавить углы, некратные трём градусам, или получить ответ (доказательство), почему это невозможно.
http://ru.wikipedia.org/wiki/Синус Там есть несколько интересных формул. А вообще, я всегда думал, что зная синус одного градуса и косинус одного градуса, можно найти синус и косинус любого другого (целого) угла, используя формулы синус суммы и косинус суммы. А если есть косинусы/синусы для степеней двойки, то процес получается ещё и шустрее.
10110111 да можно и не кратно углу: откуда можно например посчитать и вообще любой кратности добиться - вопрос в целесообразности(и может уползти в комплексы)
Это невозможно. Для строгого доказательства нужна теория Галуа. Идея следующая. Возьмём тот же синус 10 градусов, для которого есть уравнение sin (3x) = 1/2, где sin (3x) выражается через sin(x) и получается уравнение 8s^3-6s+1=0. Это уравнение имеет 3 различных вещественных корня: синусы 10, 50, 250 градусов. И с точки зрения алгебраических операций над рациональными числами их различить невозможно. Но для выражений с корнями из вещественных чисел, у которых рассматриваются только вещественные значения, разнообразие вносят только корни чётной степени, и это разнообразие каждый раз даёт только 2 значения, так что 3 корня получить не удастся.
Небольшой пример к посту diamond'а например выражая cos(x) через cos(3x) получим уравнение вида: если принять cos 3x за константу a и решить это кубическое уравнение, получим 3 корня, два из которых комплексные. Действительный корень имеет вид: Который сам станет комплексным почти при любом a.
10110111 Подобное выражение существует только для тех углов, которые могут быть построены с помощью линейки и циркуля. В целочисленном градусном выражении все эти углы делятся на 3. За доказательством придется, боюсь, лезть довольно глубоко в алгебру и теорию групп/полей..