тут вопрос не в комплексных числах, а в последовательности операций.. eiπ22=−122=1 чел прям расслабленный.. его как-то не смущает от слова СОВСЕМ, что подстановки кардинально меняют целевую функцию и надо бы это учитывать
Решаются, но решаются тем, что комплексное возведение в нецелое число - это многозначная функция. Будучи определенной через e в степени с i там всегда будет +Pi*n в полярной форме и... нужно возводить еще больше внимательности и аккуратности применительно к результатам.
Вообще-то, любое комплексное число - это многозначная функция, которая имеет единственное отображение на комплексной плоскости.
Отображение тут это скользковатый момент. Так то да - вроде как любое представление через экспоненту e при наличии бесконечного числа "проворотов" числовой оси через целочисленный параметр n отображается на единственное комплексное выраженное в арифметической форме a+b⋅i И пока мы работает с комплексными только в арифметической форме нам над этим особо думать не надо. Но как только мы вовлекаем эту самую экспоненциальную форму - а это случается даже когда мы просто вводим нецелочисленные возведения в степень в арифметические выражения с комплексными нам тут же нужно усиленно думать как не просрать все полимеры. Простой пример есть на википедии: https://ru.wikipedia.org/wiki/Возведение_в_степень#Комплексная_степень
этот пример всё же немножко о другом, он отображает комплексное представление числа в реальное: 1i≠1. единица в степени любого РЕАЛЬНОГО числа == единице. возведение обычной единицы в степень многомерного объекта (комплексное число, матрицы..) может дать реальную единицу на выходе лишь в частном случае.
красиво делает, но пытаться доказать нормальное распределение чисто математически - явное ЛПП, пч эта формула получается сугубо на основе законов физики про точки минимальной энергии. и в реале этот колокол всё же далёк от своей идеальной формы (идеализируют его форму просто ради минимизации расчётов).. да, и вообще - статистика сделана для нищебродов, ибо в основном невозможно строго описать изучаемый процесс, вот и высчитывают вероятности
вот прям загляденье - медитировать можно нонСтоп и в принципе идея работает, если атомизировать вычисления. к примеру, f(z)=1z... или другой вариант опять же для х.. то бишь для каждой точки из области допустимых значений мы генерируем пары... S′i,0(x)=S′i,1(y) где i=1..n∈N И врезаемся в стЕночку сразу двух проблем.. точек нужно генерить много, но главное - №2. f(z) - это не функция, а шаблон функции. Даже взяв самый простой вариант f(z)=z, мы получаем бесконечное множество целевых функций {задавая y(x)} и самое забавное, что сам ФАКт, что игрек в разряде переменных, неминуемо приводит к зависимости от икс. простой пример: пусть y(x)=2x, тогда f′x(z)=1+2j
Комплексные конечно прикольная штука. Сама их история появления тесно связана просто с решением уравнения третьей степени и исторически является чисто алгебраическим казусом. И даже великий Эйлер который и формулу возведения в степень комплексных придумал и вообще развил их донельзя не подозревал о геометрической трактовке. Так вот перемножения комплексных геометрически есть операция вращения точки на плоскости вокруг центра координат. Из-за этой сути вращения сразу происходит несколько важных вещей - ну во первых сразу же вылезают бесконечные решения во многих формулах, т.к. вращения на два пи неотличимы (и основной поставщик таких множественных решений это как раз комплексное возведение в степень, ибо основание его - eix это чистое представление вращения точки по единичной окружности, где x - длина дуги). Во вторых ранее расходящиеся в вещественных ряды начинают на множестве значений сходится, т.к. вращаясь комплексные получают хорошую тенденцию на разных степенях проворота в разных членах ряда начать взаимно гасится находясь в противофазах.
прикол тута такой.. lne2πni⏟2πni=1⏟0 после каждого преобразования надо фиксировать равенство, а в данном случае n мб равен только нулю. Точней вот так.. lne2πni⏟2πni=1⏟0 калькулятор Вольфрама корректно показывал невозможность решения
На вики в статье про возведение в степень в описании для комплексных есть та формула к которой если применить то, что он вывел - всё получается. Там же есть важное замечание как ей пользоваться, ибо легче лёгкого совершить ошибку: если a=1, то в финальном выражении r=1 (ln обнуляется) и θ=0, но нельзя забывать про 2πk. Если теперь вместо b подставить его выражение, то почти всё сократится вплоть до формулы eln(2)⋅k. А это и значит, что при k=1 получается двойка. Собственно он на секунду показывает табличку где есть этот результат уже в готовом виде.
если применять к двойке - всё хорошо, но к единице.. тогда можно доказать любую формулу. после каждого преобразования меняется область допустимых значений и меняются корни.
aa_dav, если в eb(ln(r)+i(θ+2πk)) в финальном выражении r=1 и θ=0, тогда в результате получится eb(2πki)
Да про это и написано на вики под той же формулой - получается из-за того, что логарифм комплексного многозначная функция возведение в комплексное тоже многозначная функция В видео Блэкпенредпен выводит такое b которое содержит −i и всё остальное так, что получается формула которую я привёл с логарифмом от двух и k. Т.е. 1комплексноеКотороеОнВывел это многозначная функция одно из решений которой - 2. Это, вообще, конечно, смущает, т.к. в арифметических действиях комплексные числа строго однозначны ибо идентифицируются ровно двумя своими вещественными компонентами и хоть складывай, хоть умножай - даже если в полярной форме, то полярная форма хоть какие в ней k фигурируют может быть сведена всегда к единственной координатной форме. Но вот при возведении в степень через e получается, что не получается - получается сонм решений отличающихся через k в полярной форме экспоненты, но эта k влияет на результат и результаты и в координатной форме рассыпаются на бесконечное число разных вариантов. Это, конечно, смущает.
это просто фокус из оперы.. ax=ay , значит x=y. но правило перестаёт работать для нуля / единицы / бесконечности. ту же единицу выбросили из перечня простых чисел, пч получилось бы, что конечное целое имеет бесконечное множество целых делителей. короче, в расчётах есть ПРАВИЛО == ПРЕОБРАЗОВАНИЕ НЕ ДОЛЖНО НАРУШАТЬ ИСКОМОГО РАВЕНСТВА. а эти ребята часто промышляют откровенным мухлежом
Да нет тут никаких нарушений правил. "Проблема" проистекает из множественности решений уже начиная с формулы Эйлера: Т.е. возведение e в степень iy, что эквивалентно возведению в комплексное число в координатное форме (0;y). Это именно координатная форма. Так вот из-за тригонометрических функций результат решения будет повторяться с шагом y на 2π бесконечное число раз. У этой функции бесконечное число одинаковых решений для совершенно разных аргументов. Ну и соответственно когда мы идём в обратную сторону и ищем комплексный логарифм, то имеем всё наоборот - для одного и того же аргумента множество решений и они отличаются не на какое то k в полярной форме (что означает в целом что они не отличаются), а именно на разные значения координат в координатной форме - это реально совершенно разные комплексные числа на комплексной плоскости. Из-за "вращательной" природы умножения и распространения этого свойства некоторым образом на возведение в комплексную степень совершенно разные точки комплексной плоскости если в них что-то возводить провернувшись и промасштабировавшись попадают в одну и ту же точку результата. Поэтому когда мы ищем решение один-в-степени мы имеем то же самое. P.S. Всё что нужно делать чтобы не "нарушать искомое неравенство" тут это не забывать про членик 2πk в экспоненте и тащить его до последней формуле чтобы не выпустить из результатов все возможные решения, в т.ч. даже если они не подходят по условию задачи - но помнить про них надо.
а что такое 2π для синусов и косинусов??? ровно тоже самое, что и нуль в арифметике: мы же не считаем сколько нулей мы прибавили к некоему числу. когда мы логарифмируем единицу, то получаем именно нуль, а будем тянуть пи и получим сплошной пииии..ии в расчётах. к примеру, сколько пи нужно вытягивать из логарифма.. сколько захотим???