ЛПП в математике :)

тут вопрос не в комплексных числах, а в последовательности операций.. [math]e^{i\pi\frac{2}{2}}=-1^{\frac{2}{2}}=1[/math]

чел прям расслабленный.. его как-то не смущает от слова СОВСЕМ, что подстановки кардинально меняют целевую функцию и надо бы это учитывать

 

Решаются, но решаются тем, что комплексное возведение в нецелое число - это многозначная функция. Будучи определенной через e в степени с i там всегда будет +Pi*n в полярной форме и... нужно возводить еще больше внимательности и аккуратности применительно к результатам.

 

Вообще-то, любое комплексное число - это многозначная функция, которая имеет единственное отображение на комплексной плоскости.

 

Отображение тут это скользковатый момент. Так то да - вроде как любое представление через экспоненту [math]e[/math] при наличии бесконечного числа "проворотов" числовой оси через целочисленный параметр [math]n[/math] отображается на единственное комплексное выраженное в арифметической форме [math]a+b\cdot i[/math] И пока мы работает с комплексными только в арифметической форме нам над этим особо думать не надо. Но как только мы вовлекаем эту самую экспоненциальную форму - а это случается даже когда мы просто вводим нецелочисленные возведения в степень в арифметические выражения с комплексными нам тут же нужно усиленно думать как не просрать все полимеры.
Простой пример есть на википедии: https://ru.wikipedia.org/wiki/Возведение_в_степень#Комплексная_степень

 

этот пример всё же немножко о другом, он отображает комплексное представление числа в реальное: [math]1^{i} \neq 1[/math]. единица в степени любого РЕАЛЬНОГО числа == единице. возведение обычной единицы в степень многомерного объекта (комплексное число, матрицы..) может дать реальную единицу на выходе лишь в частном случае.

 

красиво делает, но пытаться доказать нормальное распределение чисто математически - явное ЛПП, пч эта формула получается сугубо на основе законов физики про точки минимальной энергии. и в реале этот колокол всё же далёк от своей идеальной формы (идеализируют его форму просто ради минимизации расчётов).. да, и вообще - статистика сделана для нищебродов, ибо в основном невозможно строго описать изучаемый процесс, вот и высчитывают вероятности

 

вот прям загляденье - медитировать можно нонСтоп и в принципе идея работает, если атомизировать вычисления. к примеру, [math]f(z)=\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle z}[/math]...

или другой вариант опять же для [math]х[/math]..

то бишь для каждой точки из области допустимых значений мы генерируем пары...
[math]S'_{i,0}(x)=S'_{i,1}(y)[/math] где [math]i=1..n\in\mathbb{N}[/math]
И врезаемся в стЕночку сразу двух проблем..

1. точек нужно генерить много, но главное - №2.
2. [math]f(z)[/math] - это не функция, а шаблон функции.

Даже взяв самый простой вариант [math]f(z)=z[/math], мы получаем бесконечное множество целевых функций {задавая [math]y(x)[/math]} и самое забавное, что сам ФАКт, что игрек в разряде переменных, неминуемо приводит к зависимости от икс. простой пример: пусть [math]y(x)=2x[/math], тогда [math]f'_{x}(z)=1+2j[/math]

 

ещё один пример Красивого ЛПП

 

Почему ЛПП? Чувак нашёл общее решение в комплексной плоскости.

 

Комплексные конечно прикольная штука. Сама их история появления тесно связана просто с решением уравнения третьей степени и исторически является чисто алгебраическим казусом. И даже великий Эйлер который и формулу возведения в степень комплексных придумал и вообще развил их донельзя не подозревал о геометрической трактовке. Так вот перемножения комплексных геометрически есть операция вращения точки на плоскости вокруг центра координат. Из-за этой сути вращения сразу происходит несколько важных вещей - ну во первых сразу же вылезают бесконечные решения во многих формулах, т.к. вращения на два пи неотличимы (и основной поставщик таких множественных решений это как раз комплексное возведение в степень, ибо основание его - [math]e^{ix}[/math] это чистое представление вращения точки по единичной окружности, где x - длина дуги). Во вторых ранее расходящиеся в вещественных ряды начинают на множестве значений сходится, т.к. вращаясь комплексные получают хорошую тенденцию на разных степенях проворота в разных членах ряда начать взаимно гасится находясь в противофазах.

 

прикол тута такой.. [math]\ln\underbrace{e^{2\pi ni}}_{2\pi ni}=\underbrace{1}_{0}[/math] после каждого преобразования надо фиксировать равенство, а в данном случае [math]n[/math] мб равен только нулю. Точней вот так.. [math]\underbrace{\ln e^{2\pi ni}}_{2\pi ni}=\underbrace{1}_{0}[/math]
калькулятор Вольфрама корректно показывал невозможность решения

 

На вики в статье про возведение в степень в описании для комплексных есть та формула к которой если применить то, что он вывел - всё получается. Там же есть важное замечание как ей пользоваться, ибо легче лёгкого совершить ошибку:

если [math]a=1[/math], то в финальном выражении [math]r=1[/math] (ln обнуляется) и [math]\theta=0[/math], но нельзя забывать про [math]2\pi k[/math].
Если теперь вместо [math]b[/math] подставить его выражение, то почти всё сократится вплоть до формулы [math]e^{\ln(2)\cdot k}[/math]. А это и значит, что при [math]k=1[/math] получается двойка. Собственно он на секунду показывает табличку где есть этот результат уже в готовом виде.

 

если применять к двойке - всё хорошо, но к единице.. тогда можно доказать любую формулу. после каждого преобразования меняется область допустимых значений и меняются корни.

 

Да про это и написано на вики под той же формулой - получается из-за того, что логарифм комплексного многозначная функция возведение в комплексное тоже многозначная функция

В видео Блэкпенредпен выводит такое [math]b[/math] которое содержит [math]-i[/math] и всё остальное так, что получается формула которую я привёл с логарифмом от двух и [math]k[/math]. Т.е. [math]1^{комплексноеКотороеОнВывел}[/math] это многозначная функция одно из решений которой - [math]2[/math].
Это, вообще, конечно, смущает, т.к. в арифметических действиях комплексные числа строго однозначны ибо идентифицируются ровно двумя своими вещественными компонентами и хоть складывай, хоть умножай - даже если в полярной форме, то полярная форма хоть какие в ней [math]k[/math] фигурируют может быть сведена всегда к единственной координатной форме. Но вот при возведении в степень через e получается, что не получается - получается сонм решений отличающихся через [math]k[/math] в полярной форме экспоненты, но эта [math]k[/math] влияет на результат и результаты и в координатной форме рассыпаются на бесконечное число разных вариантов. Это, конечно, смущает.

 

это просто фокус из оперы.. [math] a^{x}=a^{y} [/math] , значит [math]x = y[/math]. но правило перестаёт работать для нуля / единицы / бесконечности. ту же единицу выбросили из перечня простых чисел, пч получилось бы, что конечное целое имеет бесконечное множество целых делителей. короче, в расчётах есть ПРАВИЛО == ПРЕОБРАЗОВАНИЕ НЕ ДОЛЖНО НАРУШАТЬ ИСКОМОГО РАВЕНСТВА. а эти ребята часто промышляют откровенным мухлежом

 

Да нет тут никаких нарушений правил. "Проблема" проистекает из множественности решений уже начиная с формулы Эйлера:

Т.е. возведение e в степень [math]iy[/math], что эквивалентно возведению в комплексное число в координатное форме [math](0; y)[/math]. Это именно координатная форма.
Так вот из-за тригонометрических функций результат решения будет повторяться с шагом y на [math]2\pi[/math] бесконечное число раз. У этой функции бесконечное число одинаковых решений для совершенно разных аргументов.
Ну и соответственно когда мы идём в обратную сторону и ищем комплексный логарифм, то имеем всё наоборот - для одного и того же аргумента множество решений и они отличаются не на какое то [math]k[/math] в полярной форме (что означает в целом что они не отличаются), а именно на разные значения координат в координатной форме - это реально совершенно разные комплексные числа на комплексной плоскости. Из-за "вращательной" природы умножения и распространения этого свойства некоторым образом на возведение в комплексную степень совершенно разные точки комплексной плоскости если в них что-то возводить провернувшись и промасштабировавшись попадают в одну и ту же точку результата.
Поэтому когда мы ищем решение один-в-степени мы имеем то же самое.
P.S. Всё что нужно делать чтобы не "нарушать искомое неравенство" тут это не забывать про членик [math]2\pi k[/math] в экспоненте и тащить его до последней формуле чтобы не выпустить из результатов все возможные решения, в т.ч. даже если они не подходят по условию задачи - но помнить про них надо.

 

а что такое 2π для синусов и косинусов??? ровно тоже самое, что и нуль в арифметике: мы же не считаем сколько нулей мы прибавили к некоему числу. когда мы логарифмируем единицу, то получаем именно нуль, а будем тянуть пи и получим сплошной пииии..ии в расчётах. к примеру, сколько пи нужно вытягивать из логарифма.. сколько захотим???

 

вот простой пример чем плохи шалости с логарифмом единицы..

​